【33886】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 证明：（1）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $$ |\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^2-1} \cos 2 n x $$ 由此结果得到：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中 Riemann 可积，则 $$ \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x)|\cos \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$ （2）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $$ |\sin x|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2 n x}{(2 n)^2-1} $$ 由此结果得到：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中 Riemann 可积，则 $$ \lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$

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【33885】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 （1）设函数 $f$ 在 $[0, \pi]$ 上 Riemann 可积，$n \in \mathrm{~N}$ ，证明： $$ \begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x \\ & \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(x)|\cos n x| \mathrm{d} x=\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x \end{aligned} $$ （2）如果（1）中 $f$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，应用积分中值定理证明上面两式．

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【33884】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可积函数，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，则存在多项式函数 $\mathrm{P}(x)$ ，s．t． $$ (\mathrm{L}) \int_a^b|f(x)-\mathrm{P}(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon $$

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【33883】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 证明：（1） $\lim _{n \rightarrow+\infty}(\mathrm{L}) \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n x^{\frac{1}{n}}}=1$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow+\infty}(\mathrm{L}) \int_0^{+\infty} \frac{\ln ^p(x+n)}{n} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x=0$ ，其中 $p$ 为固定的正数．

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【33882】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 （1）设 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\sin \frac{1}{x}}{x^a}, & 0<x \leqslant 1, \\ 0, & x=0 .\end{cases} $$ 讨论当 $\alpha$ 为何值时，$f$ 在 $[0,1]$ 上 Lebesgue 可积或不可积． （2）设 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\sin \frac{1}{x}}{x^\alpha}, & |x|>0, \\ 0, & x=0 .\end{cases} $$ 讨论当 $\alpha$ 为何值时，$f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上 Lebesgue 可积或不可积．

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【33881】 【 Lebesgue可积函数的连续性】 解答题 证明：（1）（L） $\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^2}{6}$ ． （2）（L） $\int_0^1 \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=2 \ln 2$ ．

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【33880】 【 积分理论】 解答题 设 $f$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的实函数，对 $\forall \varepsilon>0, \exists g, h \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 满足 $$ g(\boldsymbol{x}) \leqslant f(x) \leqslant h(\boldsymbol{x}), \forall \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n, $$ 且有 $$ \text { (L) } \int_{\mathrm{R}^n}[h(\boldsymbol{x})-g(\boldsymbol{x})] \mathrm{d} \boldsymbol{x}<\varepsilon . $$ 证明：$f \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^n\right)$ ．

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【33879】 【 积分理论】 解答题 设 $\left\{E_k\right\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上测度有限的 Lebesgue 可测集列，且有 $$ \lim _{k \rightarrow+\infty}(\mathrm{L}) \int_{\mathrm{R}^n}\left|\chi_{E_k}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0 $$

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【33878】 【 积分理论】 解答题 设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的非负 Lebesgue 可积函数列，若对任何 Lebesgue 可测集 $E \in \mathbb{R}^n$ ，都有 $$ \int_E f_k \mathrm{~d} m \leqslant \int_E f_{k+1} \mathrm{~d} m $$

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【33877】 【 积分理论】 解答题 设 $f \in \mathscr{L}\left(\mathbb{R}^1\right), \alpha>0$ ．证明：在 $\mathbb{R}^1$ 上，有 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} n^{-\alpha} f(n x) \doteq 0 $$

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