【33876】 【 积分理论】 解答题 设 $f$ 为 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue 可测函数，$m(E)<+\infty$ ．证明： $f^2$ 为 $E$ 上的 Lebesgue 可积函数 $\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot m(\{x \in E| | f(x) \mid>k\})<+\infty$ ．如果 $m(E)=+\infty$ ，举例说明充分性不成立。

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【33875】 【 积分理论】 解答题 设 $f$ 为 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上的非负 Lebesgue 可测函数，且 $m(E)<+\infty$ ．证明： $f$ 为 $E$ 上的 Lebesgue 可积函数 $\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty} 2^k \cdot m\left(\left\{x \in E \mid f(x) \geqslant 2^k\right\}\right)$ 收敛．

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【33874】 【 积分理论】 解答题 设 $f$ 为 Lebesgue 可测集 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上几乎处处大于零的 Lebesgue 可测函数，且满足 $$ \text { (L) } \int_E f \mathrm{~d} m=0 $$ 证明：$m(E)=0$ ．

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【33873】 【 可测函数的收敛性】 解答题 设 $m(E)<+\infty, f, f_1, f_2, \cdots, f_k, \cdots$ 为 $E \in \mathscr{L}$ 上几乎处处有限的 Lebesgue 可测函数．证明： $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上依 Lebesgue 测度收剑于 $f$（即 $\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上度量收敛于 $f$ ） $$ \Leftrightarrow \liminf _{k \rightarrow+\infty}\left\{\alpha+m\left(\left\{x \in E| | f_k(x)-f(x) \mid>\alpha\right\}\right)\right\}=0 . $$

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【33872】 【 可测函数的收敛性】 解答题 设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可测函数列．证明：存在正数列 $\left\{a_k\right\}$ ，使得在 $[a$ ， b］上有 $$ \lim _{k \rightarrow+\infty} a_k \cdot f_k(x) \underset{m}{\doteq} 0, x \in[a, b] $$

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【33871】 【 可测函数的收敛性】 解答题 设 $\left(\mathbb{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$f$ 为 $\mathbb{R}^1$ 上的 Lebesgue 可测函数，且有 $$ f(x+1) \doteq f(x) $$ 作函数 $g: \mathbb{R}^1 \rightarrow \mathbb{R}$ ，s．t．$g$ 是 $\mathbb{R}^1$ 上周期为 1 的函数，即 $$ g(x+1)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}^1, $$ 且在 $\mathbb{R}^1$ 上，有 $$ g(x) \doteq \underset{m}{\doteq} f(x) $$

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【33870】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的可导函数．证明：$f^{\prime}(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可测函数．

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【33869】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $(X, \mathscr{R})$ 为可测空间，$E$ 为可测集，$\left\{f_n\right\}$ 为 $E$ 上的一列可测函数，并且 $\left\{f_n\right\}$ 在 $E$上有极限函数 $f$（允许极限值为 $\pm \infty$ ）．证明：$E(f=+\infty), E(f=-\infty)$ 都为可测集，且对 $\forall c \in \mathbb{R}, E(c \leqslant f)$ 也为可测集（即 $f$ 为 $E$ 上的广义可测函数）。

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【33868】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 任取 $x \in[0,1], x$ 有小数表示 $x=0 . n_1 n_2 n_3 \cdots$（ 0.2 不取 0.19 ，只用 0.2 表示），定义 $$ \begin{aligned} & f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, \\ & f(x)= \begin{cases}\max _{1 \leqslant i<+\infty}\left\{n_i\right\}, & x=0 . n_1 n_2 n_3 \cdots, \\ 1, & x=1 .\end{cases} \end{aligned} $$

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【33867】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $(X, \mathscr{R})$ 为可测空间，$E$ 为可测集，$f$ 为 $E$ 上的可测函数．证明：对 $\forall c \in \mathbf{R}$ ， $E(f=c)$ 为可测集．

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