【33856】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $\left(\mathrm{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间． （1）作出一个由 $\mathrm{R}^1$ 中某些无理数构成的闭集 $F$ ，s．t．$m(F)>0$ ． （2）设有理数集 $\mathrm{Q}=\left\{r_n \mid n \in \mathrm{~N}\right\}$ ，令 $$ G=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(r_n-\frac{1}{n^2}, r_n+\frac{1}{n^2}\right) $$ 证明：任一闭集 $F \subset \mathrm{R}^1$ ，有 $m(G \Delta F)>0$ ．

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【33855】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $\mu$ 为集 $X$ 的环 $\mathscr{R}$ 上的测度． （1）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ ，则 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mu^*\left(E_n\right)=\mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) . $$ （2）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ ，且至少有一个 $E_{n_0}$ ，s．t．$\mu *\left(E_{n_0}\right)< +\infty$ ，则 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mu_*\left(E_n\right)=\mu *\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) . $$ 举例说明＂$\mu_*\left(E_{n_0}\right)<+\infty$＂不能删去． （3）举例说明，虽有（1）中条件：$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ ，但 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mu_*\left(E_n\right) \neq \mu *\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) . $$ （4）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 代数，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots, \mu(X)<+\infty$ ，则 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mu * \cdot\left(E_n\right)=\mu *\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) $$ （5）举例说明：虽有（2）中条件：$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ ，但 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mu^*\left(E_n\right) \neq \mu^*\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) . $$

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【33854】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $\left(\mathbb{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$E \subset \mathbb{R}^1$ ．如果 $0<a<m(E)$ ，证明：存在无内点的有界闭集 $F \subset E$ ，s．t．$m(F)=a$ ．

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【33853】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}^1, m^*(E)>0$ ．则对 $\forall q \in\left[0, m^*(E)\right)$ ，必 $\exists E_1 \subset E$ ，s．t．$m^*\left(E_1\right)=q$ ．

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【33852】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》有限测度与测度延拓】 解答题 设 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 的某些子集所成的环，$\mu$ 为 $\mathscr{R}$ 上的测度．则 $\mathscr{H}(\mathscr{R})$ 上的集函数 $$ \mu_*(E)=\sup \{\mu(F) \mid E \supset F \in \mathscr{R}\} $$ （称 $\mu$ ．为内测度）具有下列各性质： （1）非负性：$\mu_*(E) \geqslant 0$ ．特别地，$\mu_*(\varnothing)=0$ ； （2）单调性：若 $E_1, E_2 \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2$ ，则 $\mu *\left(E_1\right) \leqslant \mu *\left(E_2\right)$ ； （3）若 $E \in \mathscr{R}$ ，则 $\mu .(E)=\mu(E)$ ； （4）若 $E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_i \cap E_j=\varnothing, i \neq j$ ，则 $$ \mu \cdot\left(\bigcup_{n=1}^m E_n\right) \geqslant \sum_{n=1}^m \mu_*\left(E_n\right) . $$ 进而，有 $$ \mu .\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \geqslant \sum_{n=1}^{\infty} \mu .\left(E_n\right) ; $$ （5）对 $E \in \mathscr{R}, F \in \mathscr{H}(\mathscr{R})$ ，有 $$ \begin{aligned} \mu *(F) & =\mu *(F \cap E)+\mu *(F-E) \\ & =\mu *(F \cap E)+\mu *\left(F \cap E^c\right) ; \end{aligned} $$ （6）若 $E \in \mathscr{H}(\mathscr{R})$ ，则 $$ \mu_*(E) \leqslant \mu^*(E) $$

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【33851】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》有限测度与测度延拓】 解答题 设 $\mathscr{R}$ 为 $X$ 的某些子集所成的环，$\mu$ 为 $\mathscr{R}$ 上的测度．任取 $E \subset X$ ，令 $$ \mathscr{R}_E=\{F \mid F \in \mathscr{R}, F \subset E\}, $$ $\mu_E$ 为 $\mu$ 在环 $\mathscr{R}_E$ 上的限制．（ $\mathscr{R}_E^*, \mu_E^*$ ）为（ $\mathscr{R}_E, \mu_E$ ）按 Caratheodory 条件的延拓．举例说明： $$ \mathscr{R}_E^* \neq \mathscr{R}^* \cap E . $$

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【33850】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》有限测度与测度延拓】 解答题 举例说明环 $\mathscr{R}$ 上测度 $\mu$ 按 Caratheodory 条件所得的延拓 $\left(\mathscr{R}^*, \mu^*\right)$ 并不一定为 $(\mathscr{R}, \mu)$ 的最大的测度延拓．

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【33849】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》有限测度与测度延拓】 解答题 设 $X=\left\{x_n \mid n \in \mathrm{~N}\right\}$ 为可数集， $\mathscr{R}$ 为 $X$ 中有限子集所成的环．对于 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu_1(E)$为 $E$ 中的点数，$\mu_2(E)=\alpha \mu_1(E), \alpha \in[0,+\infty)$（由例2．1．1知，$\mu_1, \mu_2$ 均为 $\mathscr{R}$ 上的测度）．证明：$\mu_1^*, \mu_2^*$ 都为 $\mathscr{H}(\mathscr{R})$ 上的测度．

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【33848】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 环上的测度、外测度与测度延拓】 解答题 设 $\mu$ 为基本空间 $X$ 的 $\sigma$ 环 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu(E)<+\infty$ ．证明：$\mu$的＂原子＂的全体为至多可数集． 举例说明 $\mathscr{R}$ 为＂$\sigma$ 环＂改为＂环＂，上述结论并不成立。

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【33847】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 环上的测度、外测度与测度延拓】 解答题 设 $\mu$ 为基本空间 $X$ 的环 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \mu(E) \leqslant 1$ ．证明：$\mu$ 的＂原子＂（即是 $\mathscr{R}$ 中的元素，它为 $X$ 中的独点集 $\{x\}$ ，且 $\mu(\{x\})>0)$ 的全体为至多可数集．

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