【33846】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 环上的测度、外测度与测度延拓】 解答题 设 $\left\{\mu_n\right\}$ 为环 $\mathscr{R}$ 上的一列测度．证明： $$ \mu(E)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \mu_n(E), E \in \mathscr{R} $$ 也为 $\mathscr{R}$ 上的测度．如果对 $\forall E \in \mathscr{R}, \forall n \in \mathrm{~N}$ ，都有 $\mu_n(E) \leqslant 1$ ，则 $\mu(E) \leqslant 1, E \in \mathscr{R}$ 。

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【33845】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 在 $(-R, R)$ 上收敛．令 $$ E=\left\{x \in(-R, R) \mid \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n\right\}, $$ 如果 $E^{\prime} \cap(-R, R) \neq \varnothing$ ，证明：$a_n=b_n, n=0,1,2, \cdots$ ．

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【33844】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明：平面 $\mathrm{R}^2$ 和开圆片都不能被其中至多可数个彼此无公共内点（可以相切）的闭圆片的集合 $\mathscr{A}$ 所覆盖． 推广：$n$ 维 Enclid 空间 $\mathbb{R}^n$ 和 $n$ 维开球体都不能被其中至多可数个彼此无公共内点（可以相切）的闭球体的集合 $\mathscr{A}$ 所覆盖（类似平面情形证明）。

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【33843】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}^3$ ，且对 $\forall x, y \in E$ ，距离 $\rho_0^3(x, y) \in Q$ ．证明：$E$ 为至多可数集．

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【33842】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $C$ 为 $[0,1]$ 中的 Cantor 疏朗集．证明： $$ C+C=\{x+y \mid x \in C, y \in C\}=[0,2] . $$

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【33841】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明：点 $x=\frac{1}{4}, \frac{1}{13}$ 属于 Cantor 疏朗集 $C$ ．

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【33840】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 设 $F \subset \mathbb{R}^n$ 为至多可数的非空闭集．证明：$F$ 必含孤立点．

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【33839】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明： $\mathbb{R}^n$ 中的可数稠密集 $E$ 不为 $G_\delta$ 集．但它是 $F_\sigma$ 集．

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【33838】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 证明：不存在满足下列条件的函数 $f(x, y)$ ： （1）$f(x, y)$ 为 $\mathrm{R}^2$ 上的连续函数； （2）偏导数 $\frac{\partial}{\partial x} f(x, y), \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ 在 $\mathrm{R}^2$ 上处处有限； （3）$f(x, y)$ 在 $\mathrm{R}^2$ 的任一点处都不可微．

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【33837】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》 Baire定理与康托尔三分集】 解答题 Riemann 函数 $$ \begin{aligned} & R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \\ & R(x)= \begin{cases}\frac{1}{p}, & x=\frac{q}{p} \in \mathbb{Q}, q \in Z, p \in \mathrm{~N}, p \text { 与 } q \text { 无大于 } 1 \text { 的公因子, } \\ 0, & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{cases} \end{aligned} $$ 在所有有理点处不连续，而在所有无理点处连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow x_0} R(x)=0, \quad x_0 \in \mathbb{R} $$

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