【33866】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 为实函数，如果对 $\forall[\alpha, \beta] \subset(a, b), f$ 为 $[\alpha, \beta]$ 上的 Lebesgue可测函数．证明：$f$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可测函数．

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【33865】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 （1）构造 $[0,1]$ 上的一个可导函数 $f$ ，其导函数 $f^{\prime}$ 在已给的非空完全疏朗集 $C$上无处连续． （2）构造 $[0,1]$ 上的一个可导函数 $f$ ，使 $f^{\prime}$ 在 $[0,1]$ 上不连续点全体具有正的 Lebesgue测度．

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【33864】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}^1$ 为 Lebesgue 测度空间 $\left(\mathbb{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 的非空完全集，则 $E$ 的每一点均为 $E$ 的凝点．

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【33863】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $\left(\mathbb{R}^n, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$E \subset \mathbb{R}^n$ 为 Lebesgue 可测集，$m(E)>0$ ． （1） $0<\lambda<1$ ，证明：存在 $n$ 维开方体 $I$ ，s．t． $$ \lambda m(I)<m(E \cap I) . $$ （2）作（向量差）点集 $$ E_{-} E=\{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in E\}, $$ 证明：$\exists \delta>0$ ，s．t． $$ E_{-} E \supset B(\mathbf{0}, \delta)=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid\|\boldsymbol{x}\|<\delta\right\} . $$

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【33862】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 Lebesgue 不可测集．证明：$\exists \varepsilon>0$ ，s．t．对满足： $$ A \supset E, \quad B \supset E^c $$ 的任意 Lebesgue 可测集 $A$ 与 $B$ ，均有 $m(A \cap B) \geqslant \varepsilon$ ．

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【33861】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $E \subset \mathbb{R}^1, m(E)>0$ ，则 $\exists x_0, x_1 \in E$ ，s．t．$x_1-x_0$ 为有理数。

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【33860】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》测度的典型实例与应用】 解答题 设 $E \subset \mathrm{R}^1, m(E)>0$ ，则 $\exists x_0, x_1 \in E$ ，s．t．$x_1-x_0$ 为无理数．

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【33859】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $([0,1], \mathscr{L} \cap[0,1], m)$ 为 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 测度空间． （1）证明：不存在具有下列性质的 Lebesgue 可测集 $E \subset[0,1]$ ，对 $\forall(a, b) \subset[0,1]$ 有 $$ m(E \cap(a, b))=\frac{b-a}{2} $$ （2）设 $E \subset[0,1]$ 为可测集且 $m(E) \geqslant \varepsilon>0, x_i \in[0,1], i=1,2, \cdots, n$ ，其中 $n>\frac{2}{\varepsilon}$ ．证明： $E$ 中存在两点其距离等于 $\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$ 中某两个点之间的距离． （3）在 $[0,1]$ 中作点集 $$ E=\{x \in[0,1] \mid \text { 在 } x \text { 的 } 10 \text { 进制小数表示中只出现 } 9 \text { 个数码 }\} \text {, } $$ 求 $m(E)$ 和 $\overline{\bar{E}}$ ． （4）设 $W \subset[0,1]$ 为 Lebesgue 不可测集．证明：$\exists \varepsilon \in(0,1)$ ，s．t．对于 $[0,1]$ 中任一满足 $m(E) \geqslant \varepsilon$ 的可测集 $E, W \cap E$ 为 Lebesgue 不可测集．

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【33858】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ ．若对 $[a, b]$ 中任一 Lebesgue 可测集 $E, f(E)$ 必为 $\mathbb{R}$ 中的 Lebesgue 可测集．证明：$[a, b]$ 中任一 Lebesgue 零测集 $Z$ ，必有 $f(Z)$ 为 $\mathbb{R}$ 中的 Lebesgue 零测集，即 $m^*(f(Z))=0$ ．

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【33857】 【 徐森林主编《实变函数习题精选》Lebesgue测度】 解答题 设 $\left(\mathbb{R}^2, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$[0,1]^2=[0,1] \times[0,1]$ ．令 $$ E=\left\{(x, y) \in[0,1]^2| | \sin x \left\lvert\,<\frac{1}{2}\right., \cos (x+y) \text { 为无理数 }\right\} \text {. } $$ 证明：$m(E)=\frac{\pi}{6}$ ．

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