多选题 （共 5 题 ），每题有多个选项正确
给定 $f(z)$ 是区域 $\{|z|>1\}$ 上的全纯函数。下列命题哪些是正确的？
$\text{A.}$ $\overline{f\left(\frac{1}{\bar{z}}\right)}$ 在 $\{0 < |z| < 1\}$ 上全纯；
$\text{B.}$ $\overline{f(\bar{z})}$ 在 $\{|z|>1\}$ 上全纯；
$\text{C.}$ $\overline{f(z) f(\bar{z})}$ 在 $\{|z|>1\}$ 上全纯；
$\text{D.}$ $\overline{f\left(z^2\right)}$ 在 $\{|z|>1\}$ 上全纯。
下列关于（全纯）映射的命题哪些是正确的？
$\text{A.}$ $f(z)=z+z^2$ 是 $\left\{|z| < \frac{1}{2}\right\}$ 上的单叶函数；
$\text{B.}$ 若区域 $D$ 上的全纯函数 $f$ 在 $D$ 上不是单叶的，则必有 $z_0 \in D$ 满足 $f^{\prime}\left(z_0\right)=0$ ；
$\text{C.}$ 任意给定扩充复平面上的两个圆 $C_1$ 和 $C_2$ ，存在唯一的分式线性变换 $f$ 把 $C_1$ 映到 $C_2$ ；
$\text{D.}$ 存在单位圆到复平面的双射 $f$ ，满足 $f$ 和其逆映射都是连续的。
下列关于共形映射的命题那些是正确的？
$\text{A.}$ 不存在单位圆到复平面的共形映射；
$\text{B.}$ 不存在右半平面 $\{\operatorname{Re} z>0\}$ 到上半圆盘 $\{|z| < 1, \operatorname{Im} z>0\}$ 的共形映射；
$\text{C.}$ 不存在第一象限 $\{\operatorname{Re} z>0, \operatorname{Im} z>0\}$ 到上半平面的共形映射；
$\text{D.}$ 如果一个上半平面到自身的共形映射 $f$ 满足 $f(i)=i$ 和 $f^{\prime}(i)=1$ ，则 $f$ 必为恒同映射。
下列关于整函数的命题那些是正确的？
$\text{A.}$ 若两个整函数 $f$ 和 $g$ 满足 $|f(z)| \leq|g(z)|$ 对任意 $z \in C$ 成立，则存在常数 $c$ 使得 $f(z) \equiv$ cg $(z)$ ．
$\text{B.}$ 任一单叶整函数一定可写为 $a z+b$ 的形式，这里 $a \neq 0, b$ 都是常数。
$\text{C.}$ 若非常数的整函数 $f$ 在 $C$ 上没有零点，则必有 $\lim \sup _{r \rightarrow+\infty} \frac{\max _{|z|=r} \ln |f(z)|}{\ln r}=+\infty$ ．
$\text{D.}$ 若非常数的整函数 $f$ 满足 $f \circ f(z)=f(z)$ 对任意 $z \in C$ 成立，则必有 $f(z) \equiv z$ ．
下列关于调和函数的命题哪些是正确的？
$\text{A.}$ 若 $u$ 是上半平面的有界调和函数，则 $u$ 必为常数；
$\text{B.}$ 任给区域 $\{0 < |z| < 1\}$ 内的调和函数 $u$ ，必存在 $D$ 内的全纯函数 $f$ 使得 $\operatorname{Re} f(z)=$ $u(z)$ 在 $D$ 内成立。
$\text{C.}$ 若 $f$ 在区域 $D$ 内全纯且无零点，则 $\ln |f(z)|$ 在 $D$ 内是调和函数；
$\text{D.}$ 我们称形如 $a x^3+b x^2 y+c x y^2+d y^3$（这里 $(a, b, c, d \in R , a \neq 0)$ ）的多项式为 3 次齐次实系数 2 元多项式。则它们按加法和数乘是 $R$ 上的 4 维线性空间，其中是调和函数的多项式组成一个2维子空间。
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
利用留数计算积分
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d t}{a+\sin ^2 t}
$$
这里 $a>0$ 为常数。
说明：使用留数之外的方法解题不得分。
利用留数证明
$$
\int_0^{+\infty} \frac{d x}{1+x^n}=\frac{\pi}{n \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}
$$
这里 $n \geq 2$ 为整数。
说明：使用留数之外的方法解题不得分。
求解多项式 $f(z)=z^4-5 z+1$ 在指定区域内的零点个数。
（1）$D_1=\{|z| < 2\}$ ；
（2）$D_2=\{|z| < 1\}$ ．
扩充复平面上任取四个不同的点 $z_1, z_2, z_3, z_4$ ，定义交比如下：
$$
\left(z_1, z_2, z_3, z_4\right)=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}: \frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}
$$
在课堂上我们学过分式线性变换 $f$ ，把圆（把直线当成通过无穷的圆）映成圆；保持交比不变。
任取扩充复平面两个点 $p, q$ 满足 $p \neq q$ 且 $p \neq-\frac{1}{q}$ ，注意其这里 $p, q$ 可以取 0 或 $\infty$ ．
（1）利用交比证明 $p, q,-\frac{1}{p},-\frac{1}{q}$ 四点共圆；
（2）利用球极投影给出（1）的结论的几何解释。
是否存在单位圆到自身的全纯映射 $f$ 满足
$$
f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}, \quad f\left(\frac{1}{3}\right)=0 ?
$$
说明：须严格证明存在或举出反例。
给定复平面的单连通区域 $U$ 满足 $U \neq C$ ．设 $f: U \rightarrow U$ 是全纯函数，若存在 $p \in U$ 满足 $f(p)=p$ ，且 $\left|f^{\prime}(p)\right|=1$ ．证明 $f$ 是 $U$ 到自身的全纯双射。
给定区域 $U= C \backslash(-\infty, 0]$ ，构造从 $U$ 到单位圆 $D$ 的共形映射 $f$ 使得
$$
f(1)=0, \quad f^{\prime}(1)>0
$$
此题为附加题，总分 8 分。建议考生有充裕时间再解此题。
本题计分原则如下：设考生前 8 道题目的总得分为 $x$ ，此附加题的得分为 $y$ ．若 $x+y \leq 100$ ，则考生的总得分为 $x+y$ ．若 $x+y>100$ ，则考生的总得分为 100 ．
若 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，取 $\gamma$ 为右半平面的一条简单闭曲线（以逆时针方向为正向），且 $\gamma$ 的内部包含 $A$ 的所有特征值。取 $f(z)=\sqrt{z}$ 为定义在 $C \backslash(-\infty, 0]$ 上，且满足在正实轴上取正实值的全纯分支。证明
$$
A^{\frac{1}{2}}=\int_\gamma f(z)\left(z I_n-A\right)^{-1} d z
$$
这是 $I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$\left(z I_n-A\right)^{-1}$ 表示逆矩阵。这里被积函数为矩阵值函数，积分对矩阵的每个元素进行。考生须在解答中说明等式左边的 $A^{\frac{1}{2}}$ 的严格定义。