单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}$ 如图所示，图中小方格的边长为 1 ，则
$\text{A.}$ $\vec{b}=2 \vec{a}$
$\text{B.}$ $\vec{c}=3 \vec{a}$
$\text{C.}$ $|\vec{d}|=\sqrt{10}$
$\text{D.}$ $|\vec{e}|=\sqrt{5}$
已知复数 $z$ 满足 $(2-\mathrm{i}) z=1+3 \mathrm{i}$ ，则 $z=()$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}-\frac{7}{3} i$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}+\frac{7}{3} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{5}-\frac{7}{5} i$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i}$
已知 $m, n$ 是两条不重合的直线，$\alpha$ 是一个平面，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $m / / \alpha, m \perp n$ ，则 $n \perp \alpha$
$\text{B.}$ 若 $m \perp \alpha, m \perp n$ ，则 $n / / \alpha$
$\text{C.}$ 若 $m / / \alpha, n \perp \alpha$ ，则 $m \perp n$
$\text{D.}$ 若 $m / / \alpha, n / / \alpha$ ，则 $m / / n$
已知 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\cos \alpha}=\sqrt{2}$ ，则 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}-1$
$\text{B.}$ $1-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}-1$
$\text{D.}$ $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
已知在平行六面体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，$A B=A D=2 \sqrt{3}, A C=6, A A^{\prime}=\sqrt{13}$ ， $A C \cap B D=O$ ，且 $A^{\prime} O \perp$ 平面 $A B C D$ ，则该平行六面体的体积为
$\text{A.}$ $12 \sqrt{6}$
$\text{B.}$ $12 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{6}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
将函数 $f(x)=\cos \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则 $\varphi$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7 \pi}{12}$
如图，在山脚 $A$ 处测得山顶 $P$ 的仰角 $\alpha$ 为 $45^{\circ}$ ，沿倾斜角 $\beta$ 为 $15^{\circ}$ 的斜坡向上走 100 米到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角 $\gamma$ 为 $60^{\circ}$ ，则山的高度 $P Q$ 为（）附： $\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ．
$\text{A.}$ $50(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ 米
$\text{B.}$ $50(\sqrt{3}+1)$ 米
$\text{C.}$ $100(\sqrt{3}+1)$ 米
$\text{D.}$ 120 米
已知在 $\triangle A B C$ 中，$B C=2 A B=6, A C=3 \sqrt{7}, \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{E C}, \overrightarrow{A F}=\lambda \overrightarrow{A C}, \lambda \in(0,1)$ ，若 $\overrightarrow{B F} \cdot \overrightarrow{A E}=0$ ，则 $\lambda=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知复数 $z_1=2+\mathrm{i}, z_2=-1+2 \mathrm{i}$ ，则
$\text{A.}$ $z_2=\mathrm{i} \cdot z_1$
$\text{B.}$ $\left|\bar{z}_1\right|=\left|\bar{z}_2\right|$
$\text{C.}$ 复数 $z_1 z_2$ 的虚部为 -4
$\text{D.}$ 复数 $\frac{z_1}{z_2}$ 在复平面内对应的点位于第三象限
已知函数 $f(x)=k \sin 2 x+\cos 2 x(k>0)$ 的部分图象如图所示，则
$\text{A.}$ $k=1$
$\text{B.}$ 点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$
$\text{C.}$ $f(x)$ 的图象在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}\right)$ 内有 4 条对称轴
$\text{D.}$ $\cos \left(2 x_2-2 x_1\right)=\frac{m^2}{2}-1$
如图，在直四棱柱 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，且 $A A^{\prime}=2 A B=4$ ， $\angle A B C=\frac{2 \pi}{3}$ ，若 $E$ 为棱 $A B$ 的中点，$F$ 为棱 $C C^{\prime}$ 上的动点（含端点），则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 三棱锥 $D^{\prime}-D E F$ 的体积为定值
$\text{B.}$ 记直线 $E F$ 与平面 $D^{\prime} D E$ 所成的角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$
$\text{C.}$ 若 $C F=F C^{\prime}$ ，则异面直线 $D^{\prime} F$ 与 $B C^{\prime}$ 所成角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{20}$
$\text{D.}$ 若 $C F=F C^{\prime}$ ，则过 $D, E, F$ 三点的平面截该棱柱所得截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{C D}$ ，若 $\overrightarrow{C E}=\lambda \overrightarrow{A C}+\mu \overrightarrow{A B}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ ，则 $\frac{\lambda}{\mu}=$
已知一个圆锥的底面半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，侧面展开图是一个圆心角为 $\sqrt{3} \pi$ 的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为
已知 $P$ 为 $\triangle A B C$ 内一点，若 $\angle P A B=\angle P B C=\angle P C A=\alpha$ ，则称点 $P$ 为 $\triangle A B C$ 的＂布洛卡点＂．若 $P$为等腰 $\triangle A B C$ 的＂布洛卡点＂，且 $B C=2 \sqrt{3}, \angle B A C$ 为钝角，$\triangle A B C$ 的外接圆的面积为 $4 \pi$ ，则 $\angle A P C$ ＝ $\_\_\_\_$ , $\tan \alpha=$ $\_\_\_\_$。
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(1,2), \vec{c}=\vec{a}+2 \vec{b}$ ．
（1）若 $(\lambda \vec{a}+\vec{b}) / / \vec{c}$ ，求实数 $\lambda$ 的值；
（2）若 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp(\mu \vec{b}+\vec{c})$ ，求实数 $\mu$ 的值．
如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=P B=P C=2, P A=B C=2 \sqrt{2}$ ，棱 $P B, P A, A C, B C$ 的中点分别为 $D, E, F, O$ ．
（1）证明：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；
（2）证明：平面 $B E F \perp$ 平面 $P A O$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a=2 \sqrt{3}$ ，且 $\cos C+\sqrt{3} \sin C=\frac{\sin B+\sin C}{\sin A}$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形，求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围．
如图，在直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 中，点 $A$ 到平面 $A^{\prime} B C$ 的距离为 $\sqrt{2}, \triangle A^{\prime} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．
（1）求直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的体积．
（2）若直线 $A^{\prime} B$ 与平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 所成的角为 $45^{\circ}, D, E$ 分别为 $A^{\prime} C, A^{\prime} B$ 的中点，且 $A E \perp D E$ ．
（i）求直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的 外接球的表面积；
（ii）求二面角 $A-B D-A^{\prime}$ 的大小．
解答下列各小题．
（1）证明： $\cos 3 \theta=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta$ ；
（2）利用（1）中的结论求 $\sin 18^{\circ}$ 的值；
（3）若函数 $f(x)=\cos 3 x+\cos 2 x+1$ 在区间 $[0, n \pi], n \in \mathbf{N}^*$ 内恰有 20 个零点，求 $n$ 的值及这 20 个零点之和．