证明：（1）（L） $\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x=-\frac{\pi^2}{6}$ ．
（2）（L） $\int_0^1 \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=2 \ln 2$ ．

（1）设

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin \frac{1}{x}}{x^a}, & 0 < x \leqslant 1, \\ 0, & x=0 .\end{cases}
$$


讨论当 $\alpha$ 为何值时，$f$ 在 $[0,1]$ 上 Lebesgue 可积或不可积．
（2）设

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin \frac{1}{x}}{x^\alpha}, & |x|>0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}
$$
讨论当 $\alpha$ 为何值时，$f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上 Lebesgue 可积或不可积．

证明：（1） $\lim _{n \rightarrow+\infty}(\mathrm{L}) \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n x^{\frac{1}{n}}}=1$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow+\infty}(\mathrm{L}) \int_0^{+\infty} \frac{\ln ^p(x+n)}{n} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x=0$ ，其中 $p$ 为固定的正数．

设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 Lebesgue 可积函数，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，则存在多项式函数 $\mathrm{P}(x)$ ，s．t．

$$
(\mathrm{L}) \int_a^b|f(x)-\mathrm{P}(x)| \mathrm{d} x < \varepsilon
$$

（1）设函数 $f$ 在 $[0, \pi]$ 上 Riemann 可积，$n \in \mathrm{~N}$ ，证明：

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x \\
& \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(x)|\cos n x| \mathrm{d} x=\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

（2）如果（1）中 $f$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，应用积分中值定理证明上面两式．

证明：（1）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有

$$
|\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^2-1} \cos 2 n x
$$


由此结果得到：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中 Riemann 可积，则

$$
\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x)|\cos \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

（2）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，有

$$
|\sin x|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2 n x}{(2 n)^2-1}
$$


由此结果得到：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中 Riemann 可积，则

$$
\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上 Lebesgue 可积．证明：

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_a^b f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \\
& \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{2} \int_a^b f(x)|\cos n x| \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$