解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f=f(u, v, w)$ 是 $R ^3$ 上定义的光滑函数, 求 $g(x, y, z)=f\left(x+y, x y, \frac{x}{y}\right)$ 的偏导数 $\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}$.
设 $a>0$, 求旋轮线一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) ; \\ y=a(1-\cos t) .\end{array} \quad 0 \leq t \leq 2 \pi\right.$ 的弧长.
计算积分
$$
\iint_S\left(x^2+y\right) d y d z-y d z d x+\left(x^2+y^2\right) d x d y .
$$
其中 $S$ 为旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 在 $z \leq 1$ 的部分, 并取曲面外侧为正向.
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{1}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n^2}\right)$.
确定函数 $I(\alpha)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^3\right)}{x^\alpha} d x$ 的定义域, 并证明 $I$ 在定义域上是连续函数.
设 $a>0, x_0>0$ 而 $x_n$ 由递推公式
$$
x_n=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right)(n \geq 1)
$$
给出. 证明数列 $\left\{x_n\right\}_{n \geq 1}$ 是单调数列, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
设 $f: R ^2 \rightarrow R$ 在 $(0,0)$ 附近存在偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$. 设 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 在 $(0,0)$ 点是连续的. 求证: 对于任何 $u, v \in R ,\left.\frac{d}{ d t}\right|_{t=0} f(t u, t v)=u \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)+v \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$.
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二次可导, 并有 $f(-1)=0, f(0)=0, f(1)=1$. 证明: 存在 $\xi \in(-1,1)$,使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1$.
设 $f(x)$ 是 $2 \pi$ 为周期的黎曼可积函数, 设 $a_n, b_n$ 是它的 Fourier 系数. 求证: 对于任何的 $c, d \in[-\pi, \pi]$, 都有
$$
\int_c^d f(x) d x=\int_c^d \frac{a_0}{2} d t+\sum_{n=1}^{\infty} \int_c^d\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) d x .
$$
设有实数列 $\left\{a_n\right\}_{n \geq 1}$, 令
$$
S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n, \sigma_n=\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n} .
$$
(1) 证明: $\left\{S_n\right\}$ 有极限推出 $\left\{\sigma_n\right\}$ 有相同的极限.
(2) 如果 $\left\{\sigma_n\right\}$ 收敛, 而且 $a_n=o\left(\frac{1}{n}\right)$, 则 $\left\{S_n\right\}$ 收敛.