单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X \sim N (0,1)$ 的一个样本， $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别为样本均值与样本方差，则（ ）成立．
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N (0,1)$
$\text{B.}$ $\sqrt{n} \bar{X} \sim N (0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2 (2 n)$
$\text{D.}$ $\bar{x} / S \sim t (n-1)$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则（ ）
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $X^2 / Y^2$ 服从 $F$ 分布
设随机事件 A ， B 满足 $A \subset B$ 且 $0 < P(A) < 1$ ，则必有（ ）
$\text{A.}$ $P A \geq P A \mid A \cup B$
$\text{B.}$ $P A \leq P A \mid A \cup B$
$\text{C.}$ $P B \geq P B \mid A$
$\text{D.}$ $P B \leq P B \mid \bar{A}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是总体 $N \mu, \sigma^2$ 的样本，$S^2$ 是样本方差，则 $D S^2=()$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{5} \sigma^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5} \sigma^4$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5} \sigma^2$
$\text{D.}$ $\frac{5}{18} \sigma^4$
随机变量 $X \sim N 0,1, Y \sim N 1,4$ 且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则
$\text{A.}$ $P Y=-2 X-1=1$ ．
$\text{B.}$ $P Y=2 X-1=1$ ．
$\text{C.}$ $P Y=-2 X+1=1$ ．
$\text{D.}$ $P \quad Y=2 X+1=1$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的数学期望分别为 -2 和 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 -0.5 ，则根据契比雪夫不等式 $P|X+Y| \geq 6 \leq$ ________
设总体 $X$ 服从正态分布 $N 0,2^2$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量
$$
Y=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{2 X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}
$$
服从 ________ 分布，参数为 ________
设总体 $X$ 的概率密度 $f(x, \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$ ，其中参数 $\sigma(\sigma>0)$ 未知，若 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\sigma=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left|X_i\right|$ 是 $\sigma$ 的估计量，则 $E(\sigma)=$ $\qquad$
设二维随即变量 $(X, Y)$ 服从 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^2, \sigma^2 ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^2\right)=$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x < 1 \\ 1-e^{-x} & v>1\end{array}\right.$ ，则 $P\{X=1\}=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $P X=E X^2=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
箱中装有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别是 $1,2,3$ 个，现从箱中随机地取出 2 个球，记 $X$ 为取出的红球个数，$Y$ 为取出的白球个数．
（I）求随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布；
（II）求 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
已知男子中有 $5 \%$ 是色盲患者，女子中有 $0.25 \%$ 是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
设 随 机 变 量 $x$ 的 概率密度为 $f_x x=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2},-1 < x < 0 \\ \frac{1}{4}, 0 \leq x < 2 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ 令 $Y=X^2, F_{x, y}$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数．
（I）求 $Y$ 的概率密度 $f_Y y$ ；（II） $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ；（III）$\quad F\left(-\frac{1}{2}, 4\right)$ ．
某地某种商品在一家商场中的月消费额 $\xi \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且已知 $\sigma=100$ 元。现商业部门要对该商品在商场中的平均月消费额 $\mu$ 进行估计，且要求估计的结果须以不小于 $95 \%$ 的把握保证估计结果的误差不超过 20 元，问至少需要随机调查多少家商场？
$$
\Phi(1.65)=0.95 \quad \Phi(1.96)=0.975 \quad \Phi(1.45)=0.926 \quad \Phi 1.40=0.92
$$
设总体 $X$ 服从 $(0, \theta)$ 的均匀分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的样本．
（1）求 $\theta$ 的矩估计量 $\theta_1$ ；（2）求 $\theta$ 的最大似然估计 $\theta_2$ ；（3）证明 $\theta_1, T_1=\frac{n+1}{n} \theta_2$ 和 $T_2=$ $n+1 \min _{1 \leq i \leq n} X_i$ 均是 $\theta$ 的无偏估计量。
化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得 8 包化肥的重量（斤）如下：
$ 98.7 , 100.5 , 101.2 , 98.3 , 99.7 , 99.5 , 101.4 , 100.5$
已知各包重量服从正态分布 $N \left(\mu, \sigma^2\right)$
（1）是否可以认为每包平均重量为 100 斤（取 $\alpha=0.05$ ）？
（2）求参数 $\sigma^2$ 的 $90 \%$ 置信区间。
可能用到的分位点：
$$
\begin{aligned}
& t_{0.99}(7)=2.998, \quad t_{0.95}(7)=1.895, \quad t_{0.975}(7)=2.3646, \quad t_{0.95}(6)=1.943 \\
& \chi_{0.95}^2(7)=14.067 \quad \chi_{0.05}^2(7)=2.167 \\
& \chi_{0.95}^2 6=12.592 \quad \chi_{0.05}^2 6=1.635
\end{aligned}
$$