单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ 的矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
例 5 设 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], B =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，则矩阵 $A$ 与 $B \quad(\quad)$
$\text{A.}$ 既合同又相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 既不合同又不相似
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$, 若 $f(x, y)=|x A +y B |$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,2-\sqrt{3})$
$\text{B.}$ $(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(2+\sqrt{3}, 4)$
$\text{D.}$ $(0,4)$
$n$ 元二次型 $x ^{ T } A x$ 中矩阵 $A$ 正定的充要条件是
$\text{A.}$ 存在正交矩阵 $P$ 使得 $P ^{ T } A P = E$
$\text{B.}$ 负惯性指数为零
$\text{C.}$ $A$ 与单位矩阵合同
$\text{D.}$ 存在 $n$ 阶矩阵 $C$, 使得 $A = C ^{ T } C$
设 $\alpha, \beta$ 是 3 维单位正交列向量，则二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\alpha \alpha^{\mathrm{T}}+2 \beta \beta^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
例7设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是 $\qquad$ ．
若可逆矩阵满足 $\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{D}=$ $\qquad$ ．
设三元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 经过正交变换化为标准形 $y_1^2-y_2^2+2 y_3^2$ ，则 $A ^3-2 A ^2-$ $A+4 E=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用正交变换将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+6 x_2 x_3$ 化为标准形
试判断下列二次型是否正定二次型．
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=7 x_1^2+x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_2-4 x_1 x_3 .
$$
(I) 设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+6 x_3^2-2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-6 x_2 x_3$, 用可逆线性变换将 $f$ 化为规范形, 并求出所用的可逆线性变换. 并说明二次型的对应矩阵 $A$ 是正定矩阵. (II) 设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & -3 & 6\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $D$, 使 $A = D ^{ T } D$.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 合同.
(1)求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围:
(2) 若存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^T A Q=B$, 求 $k$ 及 $Q$.