【33816】 【 南京师范大学2025年高等代数真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$(A-E)(A-3 E)=O$ 当且仅当 $r(A-E)+r(A-3 E)=n$ ．

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【33815】 【 南京师范大学2025年高等代数真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & t & 2\end{array}\right)$ ，若 $A$ 有一个二重特征根且 $t<1$ ． （1）求 $t$ ． （2）求 $A$ 的最小多项式． （3）求 $A$ 的 Jordan 标准形．

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【33814】 【 南京师范大学2025年高等代数真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 经过正交变换 $X=T Y$可化为标准形 $f=y_2^2+2 y_3^2$ ． （1）求参数 $a, b$ ． （2）求所用的正交矩阵 $T$ ．

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【33813】 【 南京师范大学2025年高等代数真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是数域 $P$ 上四维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在此基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right) $$ （1）求 $\sigma$ 的核． （2）求 $\sigma$ 的值域．

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【33812】 【 南京师范大学2025年高等代数真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 计算行列式 $ D=\left|\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right| \text {. }$

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【33811】 【 南京师范大学2025年高等代数真题解答(微信公众号考研数学李扬)】 解答题 计算行列式 $D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}a_1^n & a_1^{n-1} b_1 & \cdots & a_1 b_1^{n-1} & b_1^n \\ a_2^n & a_2^{n-1} b_2 & \cdots & a_2 b_2^{n-1} & b_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n+1}^n & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & \cdots & a_{n+1} b_{n+1}^{n-1} & b_{n+1}^n\end{array}\right|$ ，其中 $a_1 a_2 \cdots a_{n+1} \neq 0$ ．

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【33810】 【 同济大学2024-2025高等数学AB(上)期中考卷及解答】 解答题 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1, f(1)=\frac{1}{2}$ ，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至多有一个零点，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=0$ ．

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【33809】 【 同济大学2024-2025高等数学AB(上)期中考卷及解答】 解答题 求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)$ ．

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【33808】 【 同济大学2024-2025高等数学AB(上)期中考卷及解答】 解答题 当 $n \rightarrow \infty$ 时，若 $\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \sim a n^{-b}(b>0)$ ，求 $a, b$ 的值．

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【33807】 【 同济大学2024-2025高等数学AB(上)期中考卷及解答】 解答题 讨论函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(x^{2 n}+2^n\right)}{n}(x>0)$ 的连续性．

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