设 $f: X \rightarrow Y, A \subset X, B \subset Y$ ．试问下列等式成立吗？并说明理由．
（1）$f^{-1}(Y-B)=f^{-1}(Y)-f^{-1}(B)$ ．
（2）$f(X-A)=f(X)-f(A)$ ．

设 $X$ 为固定的集合，$A \subset X, \chi_A(x)$ 为集合 $A$ 的特征函数．$A, B, A_\alpha, A_n$ 都为 $X$ 的子集．证明：
（1）$A=X \Leftrightarrow \chi_A(x) \equiv 1 ; \quad A=\varnothing \Leftrightarrow \chi_A(x) \equiv 0$ ．
（2）

$$
\begin{aligned}
& A \subset B \Leftrightarrow \chi_A(x) \leqslant \chi_B(x), \forall x \in X \\
& A=B \Leftrightarrow \chi_A(x)=\chi_B(x), \forall x \in X
\end{aligned}
$$

（3）$\chi_{\sigma \in F_a}(x)=\max _{\alpha \in \Gamma} \chi_{A_\alpha}(x) ; \chi_{\sigma \in C_a}(x)=\min _{\sigma \in \Gamma} \chi_{A_\alpha}(x)$ ．
（4）设 $A_n(n=1,2, \cdots)$ 为一集列，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} A_n \text { 存在 } \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \chi_{A_n}(x) \text { 存在. }
$$

$$
\chi_{n \rightarrow+\infty} \lim _n(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \chi_{A_n}(x)
$$

设 $\left\{f_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为定义在 $[a, b]$ 上的实函数列，$E \subset[a, b]$ ，且有

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} f_n(x)=\chi_{[a, b]-E}(x) .
$$


若令 $E_n=\left\{x \in[a, b] \left\lvert\, f_n(x) \geqslant \frac{1}{2}\right.\right\}$ ，求集合 $\lim _{n \rightarrow+\infty} E_n$ ．

证明：de Morgan 公式中的第 1 式

$$
X-\bigcup_{a \in \Gamma} A_a=\bigcap_{a \in \Gamma}\left(X-A_a\right)
$$

设 $A_\alpha(\alpha=1,2, \cdots)$ 为一集列．
（1）令 $B_1=A_1, B_n=A_n-\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i(n \geqslant 2)$ ．证明：$B_n(n=1,2, \cdots)$ 为一个彼此不相交的集列，并且

$$
\begin{aligned}
& \bigcup_{i=1}^n A_i=\bigcup_{i=1}^n B_i, \quad n=1,2, \cdots \\
& \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i=\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i
\end{aligned}
$$

（2）如果 $A_n(n=1,2, \cdots)$ 单调减（即 $\left.A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots\right)$ 的集列，证明：

$$
A_1=\left(A_1-A_2\right) \cup\left(A_2-A_3\right) \cup \cdots \cup\left(A_n-A_{n+1}\right) \cup \cdots \cup\left(\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i\right)
$$


并且其中各项互不相交．

设 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为两个集列．
（1）证明：$\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_n \cap B_n\right) \subset\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \cap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right)$ ．
（2）举例说明：$\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_n \cap B_n\right) \not \supset\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \cap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right)$ ．
（3）如果 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 都是单调增的集列，证明：
$$
\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_n \bigcap B_n\right)=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \bigcap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right) .
$$

设 $A, B, E$ 为全集 $X$ 中的子集，证明：

$$
B=(E \cap A)^c \cap\left(E^c \cup A\right) \Leftrightarrow B^c=E
$$

设 $A_{2 k-1}=\left(0, \frac{1}{k}\right), A_{2 k}=(0, k), k=1,2, \cdots$ ，求 $\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} A_n$ 和 $\lim _{n \rightarrow+\infty} A_n$ ．

设 $f(x)$ 为 $E$ 上的一个实函数，$c$ 为任何实数，

$$
E(f>c)=\{x \in E \mid f(x)>c\}, \quad E(f \leqslant c)=\{x \in E \mid f(x) \leqslant c\}
$$


等．证明：
（1）$E(f>c) \cup E(f \leqslant c)=E$ ．
（2）$E(f \geqslant c)=E(f>c) \cup E(f=c)$ ．
（3）当 $c \leqslant d$ 时，$E(f>c) \cap E(f \leqslant d)=E(c < f \leqslant d)$ ．
（4）当 $c \geqslant 0$ 时，$E\left(f^2>c\right)=E(f>\sqrt{c}) \cup E(f < -\sqrt{c})$ ．
（5）当 $f \geqslant g$ 时，$E(f>c) \supset E(g>c)$ ．
（6）$E(f \geqslant c)=\bigcup_{n=1}^{\infty} E(c \leqslant f < c+n)$ ．
（7）$E(f < c)=\bigcup_{n=1}^{\infty} E\left(f \leqslant c-\frac{1}{n}\right)$ ．

设 $\left\{f_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $E$ 上的实函数列，且关于 $n$ 单调增，即

$$
f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x) \leqslant \cdots, \quad \forall x \in E,
$$


并且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} f_n(x)=f(x)$ ．证明：对任何实数 $c$ ，有
(1) $E(f>c)=\bigcup_{n=1}^{\infty} E\left(f_n>c\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(f_n>c\right)$.
(2) $E(f \leqslant c)=\bigcap_{n=1}^{\infty} E\left(f_n \leqslant c\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} E\left(f_n \leqslant c\right)$.

设 $\left\{f_i( x )\right\}(i=1,2, \cdots)$ 为定义在 $R ^n$ 上的实函数列，试用点集

$$
\left\{x \in R ^n \left\lvert\, f_i(x) \geqslant \frac{1}{j}\right.\right\}, \quad i, j=1,2, \cdots
$$


表示点集 $\left\{x \in R ^n \mid \varlimsup_{i \rightarrow+\infty} f_i(x)>0\right\}$ ．