单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X \sim N(-1,1)$ ，其分布函数为 $F(x), \Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则下列不正确的选项是（）．
$\text{A.}$ $P\{X < -4\}=1-F(2)$
$\text{B.}$ $P\{X>-4\}=\Phi$（3）
$\text{C.}$ $E\left(X e ^X\right)=0$
$\text{D.}$ $E\left( e ^x\right)= e ^{-1}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 未知， $\bar{X}$ 是样本均值，则下列选项中，满足数学期望为 $\sigma^2$ 的统计量的是（）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{3}{2} x^2, & -1 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array} \quad Y=\sqrt{1-X^2}\right.$ ，则下列各对随机变量中，相关系数 $\rho$ 满足 $0 < |\rho| < 1$ 的是（）。
$\text{A.}$ $X^2$ 与 $Y^2$
$\text{B.}$ $X^2$ 与 $Y$
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y^2$
$\text{D.}$ $X$ 与 $Y$
设总体 $X \sim\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right),\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则下列结论正确的是（ ）。
$\text{A.}$ $P\left\{X_1>X_2\right\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\left\{X_1 \geqslant X_2\right\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\left\{X_1>X_2, X_1>X_3\right\}=\frac{5}{27}$
$\text{D.}$ $P\left\{X_1 \geqslant X_2, X_1 \geqslant X_3\right\}=\frac{22}{27}$
设连续型随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数和分布函数分别为 $f(x, y), F(x, y)$ ，关于 $X$ 的边缘概率密度和边缘分布函数分别为 $f_X(x), F_X(x)$ ，则下列四个命题：
（1） $0 \leqslant f(x, y) \leqslant 1$ ；
（2）$f(x, y) \leqslant f_X(x)$ ；
（3） $0 \leqslant F(x, y) \leqslant 1$ ；
（4）$F(x, y) \leqslant F_X(x)$
中，正确的个数为（ ）．
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 相互独立，$X_i \sim\left(\begin{array}{cc} e & e ^2 \\ 0.4 & 0.6\end{array}\right), i=1,2, \cdots, 100$ ，则由中心极限定理，$P\left\{X_1 X_2 \cdots X_{100} < e ^{160}\right\} \approx$ $\qquad$ ．
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N(1,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值．对任意的常数 $\alpha$ ， $(0 < \alpha < 1)$ ，自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的上侧 $\alpha$ 分位点 $\chi_a^2(n)$ 定义为 $P\left\{\chi^2>\chi_a^2(n)\right\}=\alpha$ ．则 $P\left\{\chi_{0.9}^2(n-1) < \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 < \chi_{0.2}^2(n-1)\right\}=$
设总体 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本（其中 $n \geqslant 2$ ）， $\bar{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差，则 $D\left(\bar{X} S^2\right)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
二维随机变量设 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
2, & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1-x, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array} \text { 令 } Z=\left\{\begin{array}{cc}
0, & X+Y \leqslant \frac{1}{2}, \\
X+Y, & X+Y>\frac{1}{2} .
\end{array}\right.\right.
$$
（1）求 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 处的值；
（2）求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)$ ，由此求 $P\{Z=0\}$ ，并问 $Z$ 是否是连续型随机变量？
（3）记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ ，求 $E(U+V)$ ．
设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{lc}a x, & 0 \leqslant x < 2, \\ \frac{b}{x}, & 2 \leqslant x \leqslant 4, ~ \text { 其中正数 } a, b \text { 均未知．样本观察值为 } \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ $\frac{3}{2}, \frac{12}{5}, \frac{1}{3}, \frac{4}{5}, \frac{8}{3}, \frac{5}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}$ ．
（1）分别求 $a, b$ 的最大似然估计值 $\hat{a}, \hat{b}$ ；
（2）令 $Y=\left\{\begin{array}{cc}2 X+1, & X \leqslant 1, \\ 4-X, & 1 < X < 3 \\ 2 X-5, & X \geqslant 3,\end{array}\right.$ 求 $p=P\left\{Y \geqslant \frac{1}{4} X^2+1\right\}$ 的最大似然估计值 $\hat{p}$ ．
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，同服从 $N(0,1)$ ．
（1）问 $(2 X+Y, X-2 Y)$ 是否服从二维正态分布？ $2 X+Y$ 与 $X-2 Y$ 是否相互独立？
（2）问 $\frac{2 X+Y}{|X-2 Y|}$ 服从何分布？并说明理由．
（3）求 $P\left\{\left|\frac{2 X+Y}{X-2 Y}\right| \leqslant 1\right\}$ ．
设 $(X, Y)$ 在 $D: 0 < x < 1,0 < y < x^2$ 内服从均匀分布．
（1）求 $P\left\{\left.Y < \frac{1}{6} \right\rvert\, X=\frac{1}{2}\right\}$ ；
（2）令 $U=X, V=\frac{Y}{X^2}$ ，求 $(U, V)$ 的密度函数 $f_{U V}(u, v)$ ，并问 $U$ 和 $V$ 是否相互独立？
设随机变量 $X$ 在区间 $(-1,1)$ 内取值，且 $P\{X=0\}=\frac{1}{3}$ ，当事件 $\{X \in(-1,0) \cup(0,1)\}$发生时，$X$ 在 $(-1,0) \cup(0,1)$ 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比．
（1）求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ；
（2）求 $Y=F(X)$ 的分布函数 $F_Y(y)$ ．