填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数，且在开区间内一点 $c \in(a, b)(c>0)$ 处与直线 $y=$ $k$ 相切．证明：$\exists \eta \in(a, b)$ 且 $\eta \neq c$ ，使得 $f^{\prime}(\eta)+2 \eta[f(\eta)-f(b)]=0$ 。
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(1) 证明积分中值定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则至少存在一点 $\eta \in[a, b]$ ，使得
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\eta)(b-a) .
$$
(2) 若函数 $\varphi(x)$ 具有二阶导数，且满足
$$
\varphi(2)>\varphi(1), \varphi(2)>\int_2^3 \varphi(x) \mathrm{d} x ，
$$
则至少存在一点 $\xi \in(1,3)$, 使得 $\varphi^{\prime \prime}(\xi) < 0$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=\frac{1}{3}$. 证明: 存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=\xi^2+\eta^2$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
(2) 存在 $\boldsymbol{\eta} \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ 。
设函数$f(x)$在$[0,2]$上具有连续导数
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明: (I) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(I) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
已知 $f(x)=\int_1^x e^{t^2} \mathrm{~d} t$.
(I) 证明: $\exists \xi \in(1,2)$ ，使得 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^2}$ ；
(ㅍ) 证明: $\exists \eta \in(1,2)$ ，使得 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta \cdot e^{\eta^2}$.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
已知 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$, 则
(I) 求 $k=\iint_D|x y-1| d x d y$ ；
(II) 根据（I）中所求 $k$, 设 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续, 且 $\iint_D f(x, y) d x d y=0$, $\iint_D x y f(x, y) d x d y=1$. 试证明存在 $(\xi, \eta) \in D$ 使得 $|f(\xi, \eta)| \geqslant \frac{1}{k}$.
$$
\begin{aligned}
&\text { 设 } a < 0 < b, f(x) \text { 在 }[a, b] \text { 上二阶导函数连续. 求证: } \exists \xi \in(a, b) \text {, 使得 }\\
&\int_a^b f(x) d x=b f(b)-a f(a)-\frac{1}{2}\left[b^2 f^{\prime}(b)-a^2 f^{\prime}(a)\right]+\frac{1}{6}\left(b^3-a^3\right) f^{\prime \prime}(\xi) .
\end{aligned}
$$
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导．证明：若对任意 $x \in(a, b)$ ，都有 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，则存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得
$$
\frac{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}=\frac{a^2+a b+b^2}{a+b} \cdot \frac{2 \xi_1}{3 \xi_2^2} .
$$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续的二阶导数，满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}=1$ ，且 $\int_0^1\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x=1$ ，证明：
（ I ） $\int_0^1\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leqslant 1$ ；
（II）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(\xi)+f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（1）存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=2$ ；
（2）存在 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\xi)=f(\eta) f^{\prime}(\eta)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且
$$
f^{\prime}(a)(b-a) < f(b)-f(a) < 2\left[f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)\right] .
$$
（1）记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，证明：存在 $x_0 \in(a, b)$ ，使得 $F\left(x_0\right)=$ 0；
（2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 $(a>0)$ ，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，求证：存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，满足 $f(0)=0, f(1)=1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2, x \in[0,1]$ ，证明：
（I）当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)-x| \leqslant \frac{1}{4}$ ；
（II）若 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)$ ，则当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant 2 x-x^2$ ．