解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{x-a}{x+1}-\ln (x+1)(a \in R )$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）已知 $m, n$ 是正整数，且 $1 < m < n$ ，证明 $(1+m)^n>(1+n)^m$ ．
已知函数 $g(x)=1-\frac{1+\ln x}{x}$ ．
（1）求 $g(x)$ 的单调区间；
（2）当 $\frac{1}{ e } < m < n < 1$ 时，试证明 $\frac{n}{m} < \frac{1+\ln n}{1+\ln m}$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{2(x-1)}{x+1}$ ．
（1）求证：函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；
（2）设 $m>n>0$ ，求证：$\frac{\ln m-\ln n}{m-n}>\frac{2}{m+n}$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{a(x-1)}{x+1}$ ．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为单调增函数，求 $a$ 的取值范围；
（2）设 $m, n \in R$ ，且 $m \neq n$ ，求证 $\frac{m-n}{\ln m-\ln n} < \frac{m+n}{2}$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x-a \sqrt{x}+1, a \in R$ ．
（1）若 $f(x) \leq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（2）若关于 $x$ 的方程 $f\left(x^2\right)= e ^{a x}- e ^2$ 有两个不同的正实根 $x_1, x_2$ ，证明：$x_1+x_2>2 \sqrt{ e }$ ．
已知函数 $f(x)=x+\frac{m}{ e ^x}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $x_1 \neq x_2$ ，且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=2$ ，证明： $0 < m < e$ ，且 $x_1+x_2 < 2$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{2 a}{x}, a \in R$ ．若函数 $f(x)$ 有两个不相等的零点 $x_1, x_2$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明：$x_1+x_2>4 a$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} a x^2-(2 a+1) x+2 \ln x(a \in R )$ ．
（1）若 $f(x)$ 有唯一极值，求 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a \leq 0$ 时，若 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right), x_1 \neq x_2$ ，求证：$x_1 x_2 < 4$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{ e ^x}{x}, g(x)=\ln x-x$ ．
（1）求函数 $g(x)$ 的极值；
（2）若 $h(x)=f(x)-g(x)$ ，求函数 $h(x)$ 的最小值；
（3）若 $h(x)=a$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，证明：$x_1 x_2 < 1$ ．
已知函数 $f(x)=x \ln x-a x^2+x, a \in R$ ．
（1）若函数 $f(x)$ 是减函数，求 $a$ 的取值范围；
（2）若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，且 $x_2>2 x_1$ ，证明：$x_1 x_2>\frac{8}{ e ^2}$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{2} a x^2-(a+1) x(a \in R )$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的零点个数．
（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=\frac{1}{2} a x^2$ 有两个不同实根 $x_1, x_2$ ，求实数 $a$ 的取值范围并证明 $x_1 \cdot x_2>e^2$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+1}{a x}$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $\left( e x_1\right)^{x_2}=\left( e x_2\right)^{x_1}$（ e 是自然对数的底数），且 $x_1>0, x_2>0, x_1 \neq x_2$ ，证明：$x_1^2+x_2^2>2$ ．
已知函数 $f(x)=\ln x-a x^2$ ．
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性：
（2）若 $x_1, x_2$ 是方程 $f(x)=0$ 的两不等实根，求证：$x_1^2+x_2^2>2 e$ ；