单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，以下无穷小量阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^{\sin x}\left[(1+t)^t-1\right] \mathrm{d} t$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{\sin x^2}(1+t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x}\left[\mathrm{e}-(1+t)^{\frac{1}{t}}\right] \mathrm{d} t$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{\sin ^2 x}\left(t \mathrm{e}^t-t\right) \mathrm{d} t$ ．
设 $I_i=\iint_{D_i} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma, i=1,2,3$ ，其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}, D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 R^2\right\}, D_3= \{(x, y)||x| \leqslant R,|y| \leqslant R\}, R>0$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$ ．
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ．
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$ ．
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$ ．
设 $f(x)=(x-1)^{10} \sin x$ ，则 $f^{(11)}(1)=$
$\text{A.}$ $10!\cdot \cos 1$ ．
$\text{B.}$ $11!\cdot \cos 1$.
$\text{C.}$ $10!\cdot \sin 1$.
$\text{D.}$ $11!\cdot \sin 1$ ．
曲线 $x^3-y^3=3 x^2$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $x+y-1=0$ ．
$\text{B.}$ $x+y+1=0$ ．
$\text{C.}$ $x-y+1=0$ ．
$\text{D.}$ $x-y-1=0$ ．
设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上单调增加的连续函数，则
$\text{A.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^{\int_0^1 e^{-t^2} \mathrm{~d} t} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$ ．
设一单位质量细杆的长为 $1, G$ 为引力常数。当质量为 $a$ 的质点在细杆延长线上距杆右端点的 $\frac{1}{2}$ 处移至 $\frac{1}{3}$ 处时，引力做功大小为
$\text{A.}$ $G a \ln \frac{4}{3}$ ．
$\text{B.}$ $G a \ln \frac{5}{3}$ ．
$\text{C.}$ $G a \ln 2$ ．
$\text{D.}$ $G a \ln 3$ ．
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，以下结论
（1）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在；
（3）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=a \neq 0$ ，则 $f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 时无界；
（4）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 时有界。
正确的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ 可经初等列变换化成 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ ，则 $a$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-2\}$ ．
$\text{B.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-2, a \neq-1\}$ ．
$\text{C.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq 1, a \neq-1\}$ ．
$\text{D.}$ $\{a \mid a \in \mathbf{R}, a \neq-1\}$ ．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_1^2+y_2^2-2 y_3^2$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right)$ ．若 $\boldsymbol{Q}=\left(-\boldsymbol{e}_3, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_1\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{C.}$ $-2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $-2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=r, \boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$＂是＂存在列满秩矩阵 $\boldsymbol{C}_{n \times r}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}, \boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_r$＂的
$\text{A.}$ 充分非必要条件。
$\text{B.}$ 必要非充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
曲线 $y=\frac{3 x^3}{2-x^2}+\operatorname{arccot}(x+2)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 1 ．
设 $y=x^3 \sin 2 x$ ，则 $y^{(20)}(x)$ 的表达式中 $x \sin 2 x$ 的系数为
$\text{A.}$ $2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{B.}$ $-2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{C.}$ $2^{18} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
$\text{D.}$ $-2^{20} \times \frac{20 \times 19}{2} \times 6$ ．
设函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{|x|^m+|y|^n}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 其中 $m, n$ 是两个正整数，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续的充要条件是
$\text{A.}$ $m>2$ 且 $n>2$ ．
$\text{B.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n>2$ ．
$\text{C.}$ $m>2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
$\text{D.}$ $m \geqslant 2$ 且 $n \geqslant 2$ ．
下列（1）（2）（3）（4）四个结论中，正确结论的个数是
（1）若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=0, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
（2）若 $a_n \leqslant c_n \leqslant b_n, \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛。
（3）若 $a_n>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则存在正整数 $k$ ，当 $n>k$ 时，$a_n \geqslant \frac{1}{n}$ ．
（4）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 至少有一个发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_n\right|+\left|b_n\right|\right)$ 发散．
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 1.
齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_2+a x_3+b x_4 & =0, \\
-x_1+c x_3+d x_4 & =0, \\
a x_1+c x_2-e x_4 & =0, \\
b x_1+d x_2+e x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 作为自由未知量．则 $a, b, c, d, e$ 满足的条件及该齐次线性方程组的基础解系分别为
$\text{A.}$ $a d-e-b c=0 ;(c, a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $a d-e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d, b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $a d+e-b c=0 ;(c,-a, 1,0)^{\mathrm{T}},(d,-b, 0,1)^{\mathrm{T}}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是三个 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_n$ ．则有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})>n$ ．
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 2 n$ ．
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) < n$ ．
已知向量组（ I ） $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ ，（II） $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 和矩阵 $\boldsymbol{A}= \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，则
$\text{A.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{B.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{C.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
$\text{D.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，且 $F(0)=0$ ，则下列函数可作为分布函数的是
$\text{A.}$ $G_1(x)=\left\{\begin{array}{cc}1+F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $G_2(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $G_3(x)=\left\{\begin{array}{cc}F(x)+F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $G_4(x)=\left\{\begin{array}{cc}F(x)-F\left(\frac{1}{x}\right), & x>1, \\ 0, & x \leqslant 1 .\end{array}\right.$
将长度为 1 米的木棒随机地截成两段，设第一段长度的 $\frac{1}{5}$ 为 $X$ ，第二段长度的 $\frac{1}{7}$ 为 $Y$ ，则 $X, Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
$\text{A.}$ -1 ．
$\text{B.}$ $-\frac{1}{35}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{35}$ ．
$\text{D.}$ 1.
一颗陨石等可能地坠落在区域 $A_1, A_2 . A_3, A_4$ 后，有关部门千方百计地要找到它．根据现有的搜索条件，如果陨石坠落在 $A_i$ ，则在该区域被找到的概率是 $p_i$（这里 $p_i$ 是由 $A_i$ 的地貌条件决定的，$i=1,2,3,4$ ）．现对 $A_1$ 搜索后没有发现这块陨石，则陨石坠落在 $A_4$ 的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1-p_1}{4-p_1}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{4-p_1}$ ．
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|^{x+2}}{\sqrt{1+x^2}-1}=$
$\int_0^1 x \arcsin (1-x) \mathrm{d} x=$
设 $\mathrm{e}^{a x} \geqslant 1+x$ 对任意实数 $x$ 均成立，则 $a$ 的取值范围为
平面无界区域 $D=\left\{(x, y)\left|\left(1+x^2\right)\right| y \mid \leqslant 1\right\}$ 的面积
$z=\arcsin y^x$ 在点 $(-1,2)$ 处的全微分为 $\mathrm{d} z=$
设四元齐次线性方程组（I）$\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2-x_3=0, \\ x_1+2 x_2+x_3-x_4=0,\end{array}\right.$ 且四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_1=(2,-1, k+2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\xi}_2=(-1,2,4, k+8)^{\mathrm{T}}$ ，若方程组（I）与（II）没有非零公共解，则 $k$ 的取值范围为
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
设当 $x>0$ 时，方程 $k x+\frac{675}{x^2}=2025$ 有且仅有一个根，则 $k$ 的取值范围是
曲面 $S:\left(x^2+y^2+z^2\right)^3=3 x y z$ 所围立体 $\Omega$ 的体积为 $V=$
级数 $\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^n\right)^3$ 中 $x^{20}$ 的系数为
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量．已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$
16．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $G=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布．令 $\left\{\begin{array}{l}U=|X+Y| \\ V=|X-Y|\end{array}, F(u, v)\right.$ 是 $(U, V)$ 的联合分布函数，则 $F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(0)=a>0, f^{\prime}(0)=b$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)^{f(x)}-f(0)^{f(x)}}{x}$ ．
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+\left(x^2-3\right) y^2=0$ 且 $y(1)=1$ ．
（1）求 $y=y(x)$ 的表达式；
（2）计算 $\int_0^3 y^2(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $f(x)$ 为连续函数，$T>0$ ，证明：$f(x)$ 以 $T$ 为周期的充分必要条件是任给常数 $a, \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d} x$ 为常数．
计算 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^x\left(\mathrm{e}^{-y^2}+\mathrm{e}^y \sin y\right) \mathrm{d} y$ ．
设 $f(x, y)=4 x^2(x-2 y)+16 y(x y-3)-33 x$ ，求其在平面区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 3\}$ 上的取值范围。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 相似，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}+(b,-b, 2 b)^{\mathrm{T}}$ 的一个解为 $(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求
（1）$a, b$ 的值；
（2） $\boldsymbol{A}^{100}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
已知曲线 $y=f(x)$ 是微分方程 $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=(4-6 x) \mathrm{e}^{-x}$ 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为 0 ．试求：
（1）当 $x>0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 到 $x$ 轴的最大距离．
（2） $\int_0^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．