单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $y=C_1 e ^x+G_2 e ^{-2 x}+x e ^x$ 满足的一个微分方程是（ ）。
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e ^x$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e ^x$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y+x e^y=\ln 5$ 所确定，则 $y^{\prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -5
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y= e ^{-x}(\cos x+1)$ 的特解形式为 ( ).
$\text{A.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{B.}$ $x e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c)$
$\text{C.}$ $e ^{-x}(a x \cos x+b x \sin x+c)$
$\text{D.}$ $e ^{-x}(a \cos x+b \sin x+c x)$
如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任一解 $y(x)$, 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ 均收敛, 那么 $a$ 的取值范围是( )
$\text{A.}$ $(-2,-1]$
$\text{B.}$ $(-\infty,-1]$
$\text{C.}$ $(-2,0)$
$\text{D.}$ $(-\infty, 0)$
设 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}-a y^{\prime}+b y=0$ 的解，其中常数 $a < 0, b>0$ ，且某点 $x=x_0$ 处的函数值 $y\left(x_0\right)$ 及导数值 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 已知，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也有关
$\text{B.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 有关
$\text{C.}$ 与参数 $a, b$ 有关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 无关
$\text{D.}$ 与参数 $a, b$ 无关，与 $y\left(x_0\right)$ 及 $y^{\prime}\left(x_0\right)$ 也无关
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $\frac{\left(1+ e ^x\right)}{y} y^{\prime}= e ^x$ 的通解为
微分方程 $\left(y+x^3\right) d x-2 x d y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（1）求齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的通解；
（2）给出非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=x e ^x+\sin x$ 的特解形式。
一半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面积 $S$ 成正比，比例系数 $K>0$ ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数，$f(0)=1$ ，满足 $\iint_D f^{\prime}(x+y) d x d y=\iint_D f(t) d x d y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant t-x, 0 \leqslant x \leqslant t\},(0 < t \leqslant 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式．
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导, $f(1)=0$, 且满足
$$
\begin{gathered}
x(x+1) f^{\prime}(x)-(x+1) f(x)+\int_1^x f(t) d t=x-1 . \\
\text { 求 } \int_1^2 f(x) d x-3 f(2)+\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x \frac{\sin (t-1)^2}{t-1} d t}{f(x)} .
\end{gathered}
$$