单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{1, a\}, B=\left\{-1, a^2\right\}$ ，若 $A \cap B=\{a\}$ ，则实数 $a$ 的取值集合为
$\text{A.}$ $\{0\}$
$\text{B.}$ $\{-1,0\}$
$\text{C.}$ $\{0,1\}$
$\text{D.}$ $\{-1,0,1\}$
已知 $x, y$ 为实数，$p: x < y, q:|x| < y$ ，则 $p$ 是 $q$ 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
若 $\sin \alpha=2 \cos ^2 \frac{\alpha}{2}$ ，则 $\sin \alpha-\cos \alpha=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\pm 1$
昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名．现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线，汽锅鸡，烧饵块，鲜花饼这 4 种特色美食，每天至少选择 1 种（当天选择的种类不分先后顺序）．若三天后他恰好品尝完所有 4 种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为
$\text{A.}$ 18
$\text{B.}$ 24
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ 42
若函数 $f(x)=\log _2\left|m-\frac{1}{2(x+1)}\right|+n(m, n \in R )$ 为奇函数，则 $m n=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ 2
设抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $C$ 上一点 $A$ 作其准线的垂线，设垂足为 $B$ ，若 $\cos \angle B A F=\frac{3}{5}$ ， $|A F|=10$ ，则 $p=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若不等式 $\left(3^{x+2 a}-9\right)(x-b) \geqslant 0$ 在 $x \in R$ 上恒成立，且 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{2}$
已知 $\triangle A B C$ 的周长为 $6, B C=2, \angle A C B$ 的平分线交 $A B$ 于 $D, B D=C D$ ，则 $\cos B=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
如图 1，已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $1, O$ 为正八边形的中心，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}) \perp(\overrightarrow{O E}-\overrightarrow{O F})$
$\text{B.}$ $(\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{E F}) / / \overrightarrow{G E}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A E}=1$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{0}$
如图 2，平面四边形 $A B C D$ 满足 $A B=A C=B C=\sqrt{2} D C=\sqrt{2} D A=2, B D$ 与 $A C$ 交于点 $O$ ，若将 $\triangle A C D$沿 $A C$ 翻折，得到三棱锥 $D^{\prime}-A B C$ ，已知二面角 $D^{\prime}-A C-B$ 的平面角为 $\alpha$ ，直线 $A D^{\prime}$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\beta, \angle D^{\prime} A C=\gamma$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 在翻折过程中，$A C$ 与 $B D^{\prime}$ 始终垂直
$\text{B.}$ 在翻折过程中， $\sin \alpha=\sin \beta \cdot \sin \gamma$ 始终成立
$\text{C.}$ 在翻折过程中，$\beta$ 的最大值为 $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ 当平面 $C A D^{\prime} \perp$ 平面 $B A D^{\prime}$ ，则三棱锥 $D^{\prime}-A B C$ 为正三棱锥
若函数 $f(x)$ 满足对任意 $x_1, x_2 \in(0,+\infty)$ 都有 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right) < f\left(x_1+x_2\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 为＂$E$ 函数＂，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x)=x^2$ 是＂$E$ 函数＂
$\text{B.}$ 函数 $f(x)= e ^x+x-1$ 是＂$E$ 函数＂
$\text{C.}$ 若函数 $f(x)$ 为＂$E$ 函数＂，$f(1)=1$ ，且当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f(x)>0$ ，则对任意 $x \in\left(2^k, 2^{k+1}\right)(k \in N)$ ，都有 $f(x) < \frac{x}{2}$
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 为＂$E$ 函数＂，$f(1)=1$ ，且当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f(x)>0$ ，则对任意 $x \in\left(2^k, 2^{k+1}\right)(k \in N)$ ，都有 $f\left(\frac{1}{x}\right) < \frac{2}{x}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $a \in R$ ，复数 $\frac{a}{1+ i }$ 在复平面内对应的点位于直线 $y=x-1$ 上，則 $a=$
已知函数 $\left.f(x)=\sin \left(\omega x-\frac{2 \pi}{3}\right)(0 < 0) < 4\right)$ 左移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位为偶函数，若 $f\left(x_0\right)=0$ ，则当 $\left|x_0\right|$ 最小时，$x_0=$
在空间直角坐标系下，由方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a>0, b>0, c>0$ ，且 $a, b, c$ 不全相等 $)$所确定的曲面称为椭球面，若用坐标平面 $x=0, y=0, z=0$ 分别截椭球面，所得的截面是圆或者椭圆（如图3所示），这三个截面的方程分别为：$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \\ x=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \\ y=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ z=0\end{array}\right.\right.\right.$ ．已知方程：$\frac{x^2}{12}+$ $\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1$ 所确定的椭球面分别交 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正半轴于点 $A, ~ B, ~ C$ ．椭圆 $\tau$ 的方程为：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1 \\ y=1\end{array}\right.$ ，若动点 $P$在椭圆 $\tau$ 上运动，则三棱锥 $P-A B C$ 体积的最大值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
数列 $\left\{a_n \mid\right.$ 满足：$a_{n+1}=2 a_n+n, a_1=1$ ，记 $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）是否存在常数 $\lambda, \mu$ ，使得 $\left\{a_n+\mu n+\lambda\right\}$ 为等比数列，若存在，求出 $\lambda, \mu$ ；若不存在，说明理由；
（2）求 $S_n$ ．
已知某种业公司培育了新品种的橙子，现从某批次收获的果实中随机抽取了 100 个橙子（直径位于 70 mm 至 100 mm 之间）作为样本，统计得到如图 4 所示的频率分布直方图．
（1）根据长期检测结果发现橙子直径服从正态分布，并将直径 $\geqslant 90 mm$ 的橙子定为特级品．此批次样本橙子直径的标准差 $s \approx 5 mm$ ，用标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的近似值．现从该批次中任取一个，试估计该橙子为特级品的概率 （保留小数点后两位数字）；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）在样本中，从直径在区间［85，90）， $[90,95),[95,100)$ 上的橙子中利用按比例分配
图4样本的分层抽样随机抽取 7 个橙子进行检测，再从中抽取 3 个橙子作进一步检测．记这 3 个橙子中直径在区间 $[90,95)$ 上的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望．
附参考数据：若随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-\sigma \leqslant \xi \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.6827$ ， $P(\mu-2 \sigma \leqslant \xi \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma \leqslant \xi \leqslant \mu+3 \sigma) \approx 0.9973$ ．
如图 5，圆柱的轴截面为 $A B C D$ ，点 $P, ~ Q$ 为上底面圆周上的两点，已知 $D A=D P=$ $D Q$ ，直线 $D B$ 过 $\triangle A P Q$ 的重心 $G$ ．
（1）证明：$P Q \perp D B$ ；
（2）求平面 $A P Q$ 与平面 $C G P$ 的夹角的余弦值．
已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，右焦点到 $E$ 的一条渐近线的距离为 2 ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）经过点 $P$ 的直线 $l_1, ~ l_2$（斜率都存在）分别与 $E$ 交于点 $A, ~ B$ 和 $C, ~ D, M, ~ N$ 分别为 $A B, ~ C D$ 的中点．
（i）若点 $M(-2,2)$ ，求直线 $l_1$ 的方程；
（ii）若点 $P(-2,0)$ ，且 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．
已知函数 $f(x)= e ^{x-a}-b e ^{-x}, a, b \in R$ ．
（1）当 $a=0, b \neq 0$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）当 $b=0$ 时，存在三条不同的直线 $l_i(i=1,2,3), l_i$ 既是曲线 $y=f(x)$ 的切线 （切点为 $A_i$ ），又是曲线 $y=\sin x(-\pi < x < \pi)$ 的切线（切点为 $B_i$ ）．
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ ii）是否存在 $i, j \in\{1,2,3\}(i \neq j)$ ，使得线段 $A_i B_i$ 与 $A_j B_j$ 互相平分？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．