解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $x_0=a>0, x_n=\arctan x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ．证明：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} x_n=1$ ．
证明函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x} \ln x, & x>0 ; \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．
证明不等式 $\frac{1}{\sin ^2 x} \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}\left(0 < x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ．
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 证明：
（1）若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $\mathrm{d} g(0,0)=0$ ．则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
（2）若 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处有偏导数且 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f(1)=(1+\xi) f^{\prime}(\xi) \ln 2+1$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{1+x}-1)=\ln (1+x), x \in(0,1)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，证明：存在折线函数列 $\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，使得
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x
$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{4 n+1}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ．
计算曲面积分 $F(t)=\iint_{x+y+z=t} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中
$$
f(x, y, z)= \begin{cases}1-x^2-y^2-z^2, & x^2+y^2+z^2 \leq 1 \\ 0, & x^2+y^2+z^2>1\end{cases}
$$
设 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有意义（有限数或 $+\infty$ 或 $\left.-\infty\right)$ ．证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，试证：
$$
\int_0^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}(a>0, b>0) .
$$
设 $u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ ，试用新变量 $u, v$ 变换等式
$$
x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\left(x^2+y^2\right) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0 .
$$
（假设所有出现的二阶偏导数都连续）
设函数列 $f_n(x)=n x e^{-n^2 x^2}, x \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ．证明：
（1）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上收敛于 $f(x) \equiv 0$ ．
（2）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛于 $f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由．
（3）$\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上积分平均收敛于 $f(x) \equiv 0$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1\left|f_n(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．