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2023学年春季学期高等代数期末测试模拟试题

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

1.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 已知三维向量

α_{1} = [\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}], α_{2} = [\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}], α_{3} = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}]

, 则三条直线

{\begin{cases} l_{1} : a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ l_{2} : a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \\ l_{3} : a_{3} x + b_{3} y = c_{3} \end{cases}

(其中

a_{i}^{2} + b_{i}^{2} \neq 0, i = 1, 2, 3

)交于一点的充要条件是

A.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关

B.

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关

C.

r (α_{1}, α_{2}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{3})

D.

α_{1}, α_{2}

线性无关,

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性相关

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2. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

是三维向量空间

R^{3}

的基, 则由基

α_{1}, α_{2}, α_{3}

到基

α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}

的过渡矩阵为

A.

[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

B.

[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]

C.

[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]

D.

[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

3. 设 3 阶方阵

A

的特征值为

1, 2, 3

, 而且

B = A^{2} + A - 2 E

, 则

| B | =

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4. 如果向量组 (1):

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{x}

与向量组 (2):

β_{i}, β_{2}, \dots, β_{r}

等价, 向量组 (1)线性无关, 则

s

与

r

的大小关系是

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5. 已知矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

经过初等行变换化为

(\begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array})

, 选

α_{1}, α_{2}, α_{3}

为最大无关组, 则

α_{4}

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示为

α_{4} =

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设 A = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array}), f (x) = x^{2} + x - 2 及, 则 f (A^{- 1}) =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 设向量

β = (b, 1, 1)^{T}

可由

α_{1} = (a, 0, 1)^{T}, α_{2} = (1, a - 1, 1)^{T}, α_{3} = (1, 0, a)^{T}

线性表示,且表示法不唯一, 记

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

.
( I ) 求

a, b

的值,并写出

β

由

α_{1}, α_{2}, α_{3}

表示的线性表达式;
(II) 求一个可逆矩阵

P

, 使得

P^{- 1} A P = Λ

(

Λ

为对角矩阵).

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8. 问

a, b

为何值时，线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, \\ x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 1, \\ - x_{2} + (a - 3) x_{3} - 2 x_{4} = b, \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + a x_{4} = - 1 \end{cases}

有惟一解 ? 无解 ? 有无穷多解 ? 并求出无穷多个解时的通解.

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9. 设

A

是 3 阶矩阵,

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

是

A

的 3 个不同特征值, 对应的特征向量分别为

α_{1}, α_{2}, α_{3}

, 令

β =

α_{1} + α_{2} + α_{3}

.
(1) 证明

β = α_{1} + α_{2} + α_{3}

不是

A

的特征向量;
（2）证明

β, A β, A^{2} β

线性无关;
(3) 若

A^{3} β = 2 A β

, 求

A

的特征值;
(4) 在(3）的基础上证明

A β

和

A^{2} β

是方程组

(A^{2} - 2 E) x = 0

的基础解系.

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10. 计算

D_{1} = | \begin{array}{rrrr} a_{1} & - a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & - a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{3} & - a_{3} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array} |

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11. (请从本题和上一题选择一题）已知三元二次型

x^{T} A x

经正交变换为

2 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}

, 又知

B

满足矩阵方程

{[{(\frac{1}{2} A)}^{*}]}^{- 1} B A^{- 1} = 2 A B + 4 E

, 且

A^{*} α = α

, 其中

α = (1, 1, - 1)^{T}, A^{*}

为

A

的伴随矩阵,求二次型

x^{T} B x

的表达式.

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12. 设向量组:

α_{1} = [\begin{matrix} - 9 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], α_{2} = [\begin{matrix} 2 \\ - 8 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}], α_{3} = [\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 7 \\ 3 \end{matrix}], α_{4} = [\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \\ - 6 \end{matrix}]

, 求此向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余的向量用该极大线性无关组表示.

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