填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 则 $A^{\prime} X=\beta$ 的解是
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4 & =1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b, \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1 .
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有解时, 求线性方程组的解(用向量表示)
设 $A \in M_{m \times n}, B \in M_{n \times s}$. 设 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t$ 是 $B X=0$ 的一个基础解系, 且 $\mathrm{r}(B)-\mathrm{r}(A B)=r$ 。
1. 证明存在 $r$ 个 $s$ 维向量 $\eta_1, \ldots, \eta_r$ 使得
$$
\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t, \eta_1, \ldots, \eta_r
$$
是 $A B X=0$ 的一个基础解系;
2. 证明向量组 $B \eta_1, B \eta_2, \ldots, B \eta_r$ 线性无关;
3. 根据 1 .和 2 .的结论或用其它方法证明:
$$
\mathrm{r}(A B) \geq \mathrm{r}(A)+\mathrm{r}(B)-n .
$$
设 $A \in M_n(P), \alpha, \beta \in P^n$, 试证:
1. $\left|E_n-\alpha \beta^{\prime}\right|=1-\alpha^{\prime} \beta$;
2. 因此当 $1-\alpha^{\prime} \beta \neq 0$ 时, $E_n-\alpha \beta^{\prime}$ 是可逆的, 求 $E_n-\alpha \beta^{\prime}$ 的逆。
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：多项式
$$
f(x)=\prod_{i=1}^{18}(x-i)+23
$$
在 $Q$ 上不可约。
设 $n$ 为正整数，$a_1, a_2, \cdots, a_n ; b_1, b_2, \cdots, b_n$ 都是实数且 $n \geq 2$ ，
求 $n$ 阶行列式 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & a_n+b_n\end{array}\right|$ 的值．
设 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ．证明：若 $3 \times 3$ 矩阵 $B$ 和 $A$ 乘积可交换，则存在多项式 $f(x)$ ，使得 $B=f(A)$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 4 & 0\end{array}\right)$ ．求关于变元 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的方程
$$
\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right) A^T A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{array}\right)
$$
的所有实数解