【33701】 【 郑州大学线性代数期末考试题】 单选题 设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $A^{-1}$ 的一个特征值是（ ）

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【33700】 【 郑州大学线性代数期末考试题】 单选题 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关的充分必要条件是

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【33699】 【 郑州大学线性代数期末考试题】 单选题 设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=2$ 则 $|2 A|=$

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【33698】 【 郑州大学线性代数期末考试题】 单选题 设行列式 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=3 \quad$ 则 $\left|\begin{array}{ll}2 a_{11} & 3 a_{12} \\ 2 a_{21} & 3 a_{22}\end{array}\right|=$

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【33697】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 $n$ 阶实矩阵。证明：如果对于内积 $\langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\rangle=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}^{\prime}\left(\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n\right), \mathbb{R}^n$ 构成一个欧氏空间，那么 $\boldsymbol{A}$ 一定是一个正定矩阵。

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【33696】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $\boldsymbol{V}$ 上一个线性变换， $\boldsymbol{\xi}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 中一个向量．证明：如果 $\sigma^{n-1}(\boldsymbol{\xi}) \neq \boldsymbol{\theta}$ ，但 $\sigma^n(\boldsymbol{\xi})=\boldsymbol{\theta}$ ，那么 $\boldsymbol{\xi}, \sigma(\boldsymbol{\xi}), \cdots, \sigma^{n-1}(\boldsymbol{\xi})$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的一个基．求 $\sigma$ 在这个基下的矩阵。

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【33695】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 在 $\boldsymbol{M}_2(\boldsymbol{F})$ 中，设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 。 （1）证明：与 $\boldsymbol{A}$ 可交换的矩阵集合 $\boldsymbol{W}$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\boldsymbol{F})$ 的一个子空间； （2）写出 $\boldsymbol{W}$ 中矩阵的一般形式； （3）求 $\boldsymbol{W}$ 的基与维数．

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【33694】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 已知二次型 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ 在某个正交线性替换 ${ }^{+}$下的标准形为 $y_1^2+2 y_2^2+5 y_3^2$ ．求参数 $a$ 及所用的正交矩阵

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【33693】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵， $\boldsymbol{X}$ 是一个 3 元列向量，使得 $\boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{X}=3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}-2 \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{X}$ 。并设 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{X}$ 线性无关。令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{X}\right)$ 。（1）求 3 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}^{-1}$ ；（2）计算 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$

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【33692】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系 ．令 $$ \boldsymbol{\beta}_1=t_1 \boldsymbol{\alpha}_1+t_2 \boldsymbol{\alpha}_2, \quad \boldsymbol{\beta}_2=t_1 \boldsymbol{\alpha}_2+t_2 \boldsymbol{\alpha}_3, \cdots, \quad \boldsymbol{\beta}_s=t_1 \boldsymbol{\alpha}_s+t_2 \boldsymbol{\alpha}_1 $$ 其中 $t_1, t_2$ 是实常数。问：当 $t_1, t_2$ 满足什么条件时， $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 也是方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系？

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