【33681】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 给定数域 $\boldsymbol{F}$ 上一个线性方程组如下： $$ \left\{\begin{array}{l} x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3 \end{array}\right. $$ （1）证明：若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则上述方程组无解；（2）设 $a_1=a_3=k$ 且 $a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 。此时 $\boldsymbol{\beta}_1=(-1,1,1)^{\prime}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_2=(1,1,-1)^{\prime}$ 是该方程组的两个解．试求出方程组的通解．

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【33680】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶非零实矩阵 $(n>2)$ ，使得 $a_{i j}=A_{i j}$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 ${ }^{+}(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．求行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值．

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【33679】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵。令 $\boldsymbol{B}$ 是交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行所得的矩阵。求 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$

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【33678】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $4 \times 3$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=2$ 。令 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right)$ 。求 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A B})$ 。

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【33677】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵，并设 $|\boldsymbol{A}|=2$ ．求 $\left|4 \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^*\right|$ ．

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【33676】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha} \\ 2 \boldsymbol{\gamma}_2 \\ 3 \boldsymbol{\gamma}_3\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{\beta} \\ \boldsymbol{\gamma}_2 \\ \boldsymbol{\gamma}_3\end{array}\right)$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_2, \boldsymbol{\gamma}_3$ 都是 3 元行向量，并设 $|\boldsymbol{A}|=18$ 且 $|\boldsymbol{B}|=2$ ．求 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ ．

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【33675】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=a \neq 0$ ，并设 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 。求 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|$ 。

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【33674】 【 高等代数练习】 解答题 设 $\boldsymbol{V}$ 是由全体 2 阶实对称矩阵关于矩阵的加法和数乘运算组成的线性空间．令 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，并令 $\sigma(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{P}^{\prime} \boldsymbol{X} \boldsymbol{P}, \forall \boldsymbol{X} \in \boldsymbol{V}$ 。 （1）证明 $\sigma$ 是 $\boldsymbol{V}$ 上一个线性变换； （2）求 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{A}_1=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{A}_2=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{A}_3=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。

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【33673】 【 高等代数练习】 解答题 设 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+x_2^2-2 x_3^2+2 b x_1 x_3(b>0)$ 是一个 3 元实二次型，并设这个二次型的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值，其和等于 1 ，其积等于 -12 。（1）求 $a$ 与 $b$ 的 值；（2）用正交线性替换把这个二次型化成标准形，并写出相应的正交矩阵。

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【33672】 【 高等代数练习】 解答题 （1）设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶实对称矩阵 ，并设 $\boldsymbol{A}^2+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 且 $\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})=2$ ．求行列式 $|\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}|$ 的值，其中 $k \in \mathbb{R}, \boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵； （2）设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶实对称矩阵，并设 $\boldsymbol{A}^3-\boldsymbol{A}-6 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ．求矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．

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