【33691】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 3 阶实方阵，$A_{i j}$ 是元素 $a_{i j}$ 的代数余子式。并设 $a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，其中 $a_{11} \neq 0$ 。求 $|\boldsymbol{A}|$ 。

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【33690】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 都是 4 阶方阵，其中 $\boldsymbol{A}=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \boldsymbol{\alpha}\right)$ 且 $\boldsymbol{B}=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \boldsymbol{\beta}\right), \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 都是 4 元列向量。并设 $|\boldsymbol{A}|=1$ 且 $|\boldsymbol{B}|=2$ 。计算 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ ．

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【33689】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 已知 $D$ 是一个 4 阶行列式，它的第 4 行元素分别为 $-1,0,2,4$ ，第 3 行元素对应的余子式依次为 $5,10, a, 4$ ．求 $a$ 的值．

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【33688】 【 高等代数练习1(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶方阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 。并设 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$ 。计算 $\left|(3 \boldsymbol{A})^{-1}-2 \boldsymbol{A}^*\right|$

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【33687】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $n$ 阶实矩阵．证明：对于内积 $\langle\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}\rangle=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}^{\prime}\left(\forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n\right), \mathbb{R}^n$ 构成一个欧氏空间的充要条件为 $\boldsymbol{A}$ 是一个正定矩阵。

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【33686】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 已知 3 元实二次型 $q\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+2 a x_2 x_3(a>0)$ 在某个正交线性替换下所得的标准形为 $y_1+2 y_2+5 y_3$ ．求参数 $a$ 及所作的线性替换．

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【33685】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ．对任意的 $\boldsymbol{X} \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ，定义 $\sigma(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}$ （1）证明：$\sigma$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ 上的一个线性变换 ；（2）求 $\sigma$ 在基 $\boldsymbol{E}_{11}, \boldsymbol{E}_{12}, \boldsymbol{E}_{21}, \boldsymbol{E}_{22}$ 下的矩阵，这里 $$ \boldsymbol{E}_{11}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{12}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{21}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{E}_{22}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) . $$

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【33684】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ ．令 $C(\boldsymbol{A})=\left\{\boldsymbol{X} \in \boldsymbol{M}_2(\mathbb{R}) \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}\right\}$ ． （1）证明 $C(\boldsymbol{A})$ 是 $\boldsymbol{M}_2(\mathbb{R})$ 的一个子空间；（2）求 $C(\boldsymbol{A})$ 中元素 $\boldsymbol{X}$ 的一般形式； （3）求 $C(\boldsymbol{A})$ 的维数及一个基．

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【33683】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 3 阶方阵，并设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1,-1,2$ 。令 $\boldsymbol{B}=2 \boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}$ 。 （1）求 $\boldsymbol{B}$ 的特征值，并求出与 $\boldsymbol{B}$ 相似的矩阵； （2）求 $|\boldsymbol{B}|$ ； （3）求 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|$ ．

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【33682】 【 高等代数练习(知乎Talk-Turkey)】 解答题 设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,-1)^{\prime}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 一个特征向量．试确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 所属的特征值．

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