单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ 0, & x>\frac{\pi}{2},\end{array} F(x)=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t\right.$, 则
$\text{A.}$ $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{B.}$ $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $F(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续但不可导。
$\text{D.}$ $F(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y}{x^2+y^2}=1$ ，则 $f(x, y)(\quad)$
$\text{A.}$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $(0,0)$ 为极大值点．
$\text{B.}$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $(0,0)$ 为极小值点．
$\text{C.}$ 在点 $(0,0)$ 处不可微，且 $(0,0)$ 不是极值点．
$\text{D.}$ 在点 $(0,0)$ 处不可微，但 $(0,0)$ 是极值点．
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}(x-1)^n$ 在 $x=0$ 与 $x=2$ 处的敛散性分别为 （ ）
$\text{A.}$ 发散，发散．
$\text{B.}$ 收敛，收敛．
$\text{C.}$ 发散，不确定．
$\text{D.}$ 不确定，收敛。
下列说法正确的个数是（ ）
（1）若 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin \frac{1}{x}=0$ ；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \sin \frac{1}{x}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ；
（3）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界，则 $f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界；
（4）若 $f(x) \sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 的去心邻域内无界。
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4 ．
设 $A, B, C$ 为 $n$ 阶方阵，则下列说法错误的是
$\text{A.}$ 若 $A B x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解，则 $r(\Lambda B)=r(B)$ ．
$\text{B.}$ 若 $r(A B)=r(B)$ ，则 $A B x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解．
$\text{C.}$ 若 $r(A B)=r(B)$ ，则 $r(A B C)=r(B G)$ ．
$\text{D.}$ 若 $r(A B C)=r(B C)$ ，则 $r(A B)=r(B)$ ．
设 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 是 3 阶实对称矩阵。 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11}=1, A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵。若 $\beta=(1,0,1)^{\top}$ 是 $A x=0$ 的一个基础解系，则 $\Lambda^{\circ} x=\beta$ 的通解为
$\text{A.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_2+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_2+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_3+(1,0,0)^{\mathrm{T}}$ ，其中 $k_1, k_2$ 为任意常数．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ，其中 $Q= \left(e_1, e_2, e_3\right)$ ，若 $P=\left(e_1,-2 e_3, e_2\right)$ ，则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在变换 $x=P y$ 下的标准形为（ ）
$\text{A.}$ $2 y_1^2-4 y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{B.}$ $2 y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$ ．
设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，$P(X \geqslant 0)=\frac{3}{7}, P(Y \geqslant 0)=\frac{4}{7}$ ，则 $P(\min \{X, Y\} < 0)$ 的最小可能取值为（ ）
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{7}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{3}{7}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{4}{7}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且 $P(X=k)=\frac{3}{4^k}(k=1,2, \cdots)$ ，则 $P(X>Y)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(1,1 ; 1,4 ; \frac{1}{2}\right)$ ，若 $P(a X+b Y \leqslant 1)=\frac{1}{2}$ ，则 $D(a X+b Y)$ 的最小值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ 1.
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 3.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\mathrm{e}^{x^2}-1\right)\left(\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)}{\sqrt{1-x^2}-\cos x}=$
$f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x^{2026}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$
设 $F(x, y, z)=\left(y z^2-\cos z\right) i+2 x z^2 j+(2 x y z+x \sin z) k$ ，则 $\operatorname{rot} F(1,4,9)=$
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ a\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关，而 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关，则 $a=$
假设 $-0.25,-1.00,1.50,3.75$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值，已知 $Y=1-2 X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ，则 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 的置信度为 0.95 的置信区间是 $\_\_\_\_$。
（注：$\Phi(1.96)=0.975, \Phi(1.645)=0.95$ ．）
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导．且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ，其反函数为 $z(x)$ ．过曲线 $y= y(x)$ 上任意一点 $Q(x, y(x))$ 作该曲线的法线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_1$ 。区间 $[1, y(x)]$ 上以 $y=z(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_2$ ．若 $S_1=y^2(x)\left(S_2+1\right)$ 恒成立，求曲线 $y=y(x)$ 的方程．
设定义在右半平面 $(x>0)$ 的正值函数 $z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，并且满足
$$
z \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}, z(x, 0)=x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, z(1, y)=\mathrm{e}^{-\frac{1+y^2}{2}} .
$$
（1）求 $z(x, y)$ 的表达式；
（2）求 $z(x, y)$ 的极值．
计算曲线积分 $I=\int_l 5^2 \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y+y^2 \mathrm{~d} z$ ．其中曲线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ 自点 $A(1,0,0)$至点 $B(0.0 .1)$ 的长弧段．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
设二次型
$$
\begin{gathered}
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_2 x_3-2 x_1 x_3, \\
g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_2 x_3 .
\end{gathered}
$$
（1）求可逆线性变换 $x=P_1 y$ 将 $f$ 化为规范形；
（2）求可逆线性变换 $x=P_2 y$ 将 $f$ 化为规范形的同时将 $g$ 化为标准形；
（3）求 $\max _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{f(x)}$ ，其中 $x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ ．
设随机变量 $X . Y$ 相互独立，且均服从 $(0,1)$ 上的均匀分布．设
$$
U=\max (X, Y), V= \begin{cases}1, & U=X, \\ 0, & U=Y .\end{cases}
$$
（1）求 $U$ 的概率密度函数；
（2）$U$ 与 $V$ 是否相互独立？说明理由；
（3）求 $Z=U+V$ 的分布函数．