单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数， $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$ ，则在 $[0,1]$ 上
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \geq g(x)$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时， $f(x) \leq g(x)$
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+7 \\ y=t^2+4 t+1\end{array}\right.$ 上对应于 $t=1$ 的点处的曲率半径是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{10}}{50}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{100}$
$\text{C.}$ $10 \sqrt{10}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{10}$
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0 \text { 及 } \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \text { ，则( ) }
$$
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取得
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取得
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取得，最小值在 $D$ 的边界上取得
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取得，最大值在 $D$ 的边界上取得
行列式 $\left|\begin{array}{llll}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d\end{array}\right|=$
$\text{A.}$ $(a d-b c)^2$
$\text{B.}$ $-(a d-b c)^2$
$\text{C.}$ $a^2 d^2-b^2 c^2$
$\text{D.}$ $b^2 c^2-a^2 d^2$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为 3 维向量，则对任意的常数 $a, b$ ，向量 $\alpha_1+a \alpha_3, \alpha_2+b \alpha_3$ 线性无关是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
反常积分(1) $\int_{-\infty}^0 \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$, (2) $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性为
$\text{A.}$ (1)收敛(2)收敛
$\text{B.}$ (1)收敛(2)发散
$\text{C.}$ (1)收敛(2)收敛
$\text{D.}$ (1)发散(2)发散
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] ， B=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ， $C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ，则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 相似
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$ ，则 $L$ 在点 $(r, \theta)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$处的切线的直角坐标方程是
一根长度为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^2+2 x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=3 t+t^3\end{array}\right.$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$
函数 $f(x)=x^2 \cdot 2^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且
$$
f(x)=(x+1)^2+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t
$$
则当 $n \geq 2$ 时， $f^{(n)}(0)=$
设函数 $f(x)=\int_0^1\left|t^2-x^2\right| \mathrm{d} t(x>0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+e^t, \\ y=\sin t\end{array}\right.$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}=$
$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_y^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数， $z=f\left(e^x \cos y\right)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\left(4 z+e^x \cos y\right) e^{2 x}
$$
若 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $f(u)$ 的表达式.
已知函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)$ ，
$$
f(y, y)=(y+1)^2-(2-y) \ln y,
$$
求曲线 $f(x, y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成的旋转体的体积。
设 $A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -3\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵.
（1）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ 的所有矩阵 $\boldsymbol{B}$.
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似.
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 $120^{\circ} \mathrm{C}$ 的物体在 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的恒温介质中冷却， 30 min 后该物体温度降至 $30^{\circ} \mathrm{C}$ ，若要使物体的温度继续降至 $21^{\circ} \mathrm{C}$ ，还需冷却多长时间?
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上具有 2 阶导数，
$$
f(a)=0, f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0 .
$$
设 $b>a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $\left(x_0, 0\right)$ ，证明: $a < x_0 < b$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{1/{x^4}}$.
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程
$$
\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0
$$
确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值.
已知 $y_1(x)=e^x, y_2(x)=u(x) e^x$ 是二阶微分方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的解，若 $u(-1)=e, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解.
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}(0 \leq x \leq 1)$ 与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t \\ y=\sin ^3 t\end{array}\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\right.$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求方程组 $A^T A x=A^T \beta$ 的通解
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
(2) 设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$. 记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ， 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^x \sqrt{x-t} e^t \mathrm{~d} t}{\sqrt{x^3}}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0 .
$$
证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根；
(2) 方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根。
设 $y(x)$ 是区间 $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ 内的可导函数，且 $y(1)=0$ ，点 $P$是曲线 $L: y=y(x)$ 上的任意一点， $L$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$轴相交于点 $\left(0, Y_P\right)$ ，法线与 $x$ 轴相交于点 $\left(X_P, 0\right)$ ，若 $X_P=Y_P$ ，求 $L$ 上点的坐标 $(x, y)$ 满足的方程。