单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B = O$ ，其中矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\ 3 & a & 0 \\ -4 & 0 & c\end{array}\right)$ ，实对称矩阵 $B$ 每行元素之和均为 3 ，则当 $x =(1,-1,2)^{ T }$ 时，二次型 $x ^{ T } B x =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\varphi(x), & x \geqslant 0, \\ \phi(x), & x < 0,\end{array}\right.$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\varphi(0)}{x}=A$（常数），其中可导函数 $\varphi(x)$, $\phi(x)$ 满足 $\varphi^{\prime}(0) \leqslant 0, \phi^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，下列说法
（1）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续；（2）$A=0$ ；（3） $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$ ；（4）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点．正确的个数为（）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
2．已知函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $f_{11}^{\prime \prime}\left(f_2^{\prime}\right)^2-2 f_{12}^{\prime \prime} f_1^{\prime} f_2^{\prime}+\left(f_1^{\prime}\right)^2 f_{22}^{\prime \prime}=-\left(f_1^{\prime}\right)^3$ ，其中 $f_1^{\prime} \neq 0$ ，方程 $z=f(x, y)$ 确定隐函数 $x=x(y, z)$ ，则 $\frac{\partial^2 x}{\partial y^2}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
已知 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (\cos x)}{2} d x, I_2=\int_{-1}^1 \frac{(1+\sin x)^2}{2\left(1+\sin ^2 x\right)} d x, I_3=\int_{-1}^1 f(x) d x$ ，其中 $f(x)$ 二阶可导，且 $f(0)=0, f^{\prime \prime}(x) < 3$ ，则三者的大小关系为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{2 n-1}\right)^{n^2 \sin \frac{1}{n}}=A>0$ ，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-k n\right)=B$（ $k$ 为常数）存在，则 $B=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 \ln A+1$
$\text{B.}$ $2 \ln A-1$
$\text{C.}$ $-A$
$\text{D.}$ $2 \ln A$
若反常积分 $\int_0^{e^2} \frac{d x}{\sqrt{x}|\ln \sqrt{x}|^p}$ 收敛，则参数 $p$ 的取值范围为（ ）．
$\text{A.}$ $p \leqslant 1$
$\text{B.}$ $p \geqslant 2$
$\text{C.}$ $p < 1$
$\text{D.}$ $p < \frac{1}{2}$
已知定义在 $[0,+\infty)$ 上的函数 $y(x)$ 是微分方程 $\left\{\begin{array}{l}y y^{\prime}=f(x), \\ y(0)=0\end{array}\right.$ 的解，其中连续函数 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的非负偶函数，曲线 $y(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_x$ ，曲线 $f(x)$ 与 $x$ 轴及直线 $x=T$ 所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_y$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $V_x=V_y$
$\text{B.}$ $V_x>V_y$
$\text{C.}$ $V_x < V_y$
$\text{D.}$ $V_x, V_y$ 大小不定
二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
$\text{C.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
$\text{D.}$ $\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
行列式 $\left|\begin{array}{llll}1 & b & a & 0 \\ 1 & c & 0 & a \\ 1 & 0 & c & b \\ 1 & a & b & c\end{array}\right|=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{B.}$ $(a-c-b)(b+c-a)(c-a-b)$
$\text{C.}$ $(a+c-b)(b-c-a)(c-a-b)$
$\text{D.}$ $(a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)$
已知 $m$ 阶非零矩阵 $A$ 满足 $A ^2= O$ ，当 $n \geqslant 2$ 时，有 $( E + A )^n( E -n A )=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $E$
$\text{B.}$ $2 E$
$\text{C.}$ $2 A$
$\text{D.}$ $A$
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ b & -3\end{array}\right)$ ，下列说法
（1）若矩阵 $A , B$ 相似，则 $a=1, b=-5$ ；
（2）若矩阵 $A , B$ 合同，则 $a < -3, b=3$ ；
（3）若矩阵 $A , B$ 等价，则 $a \neq 1$ 且 $b \neq-5$ 。
正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知长为 5 m 的梯子斜靠在墙角，梯子底部离墙角的距离为 3 m ，若梯子底部水平滑移的速度为 $0.6 m / s$ ，则梯子与地面的夹角变化的速率为 $\qquad$ $rad / s$.
已知曲线 $f(x)=\frac{\left(x^2+2 x+3\right) e ^{a x}}{(x-1)\left( e ^x-c\right)}(a \neq 0, c>0)$ 有一条铅直渐近线与一条斜渐近线，则斜渐近线方程为 $\qquad$ ．
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \ln x}{\left(a^2+x^2\right)^2} d x=$ $\qquad$ $(a>0)$.
已知 $x>0, y>0$ ，不等式 $\frac{A}{x y} \leqslant \ln \left(x^2+y^2\right)$ 恒成立，则参数 $A$ 的取值范围为 $\qquad$ .
圆域 $x^2+(y-a)^2 \leqslant a^2(a>0)$ 上的点到原点距离平方的平均值为 $\qquad$ ．
已知 3 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 1 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 的特征值为 $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 12, M_{i j}$ 为矩阵 $A$ 的元素 $a_{i j}$ 对应的余子式，则 $M_{11} M_{33}-M_{13} M_{31}=$ $\qquad$ ．
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)= e ^{-x}-\int_0^x t\left[3 f^{\prime}(x-t)+2 f(x-t)\right] d t$ ，且 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小．
（1）求 $f(x)$ 的表达式；
（2）求曲线 $\frac{f(x)}{x^{\frac{3}{2}}}$ 与 $y$ 轴及 $x$ 轴正半轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
已知 $f(x)$ 是可导的单调递减函数，且 $f(x)>0$ ，记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ．
（1）证明：当 $a>0$ 时，若 $x \in(0, a)$ ，有 $\frac{x}{a} F(a) < F(x) < f(0) x$ ；
（2）若 $f(0) < 1$ ，记 $x_1 \in(0, a), x_{n+1}=F\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
已知函数 $y=y(x)$ 满足 $\cos ^4 x \frac{d^2 y}{d x^2}+2 \cos ^2 x\left(1-\frac{1}{2} \sin 2 x\right) \frac{ d y}{d x}+y=\tan x$ ．
（1）用变换 $t=\tan x$ ，将题干微分方程化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程；
（2）若 $x=0$ 是函数的极值点，求函数 $y(x)$ 的表达式．
已知 $|a| < \frac{1}{3}$ ，求 $u(x, y, z)=a x^3-y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的最值．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{9}\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}0 & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{9}\end{array}\right)$ ，向量 $x =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }$ ，试求一可逆线性
变换，将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } B x$ 均化为标准形．
计算二重积分 $\iint_D \frac{\left(x^2+|x y|\right)(1+x)}{\sqrt{1-x^2-y^2}} d x d y$ ，其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid\left(x^2+y^2\right)^3 \leqslant x^4+y^4\right\}$
除原点之外的上半空间 $z \geqslant 0$ 上，函数 $u(x, y, z)$ 有二阶连续偏导数，满足 $u_x^{\prime}=2 x+y+z+$ $x f(r), u_y^{\prime}=x+y f(r), u_z^{\prime}=x+z+z f(r)$ ，其中
$$
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}+u_{z z}^{\prime \prime}=0, f(1)=1 .
$$
（1）求 $f(r)$ 的表达式；
（2）求 $f(r)$ 在约束条件 $x^2+\frac{y^2}{2}-z^2=1$ 下的最大值与最小值．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$ ，其中实对称矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ．
（1）求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵；
（2）已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经正交变换化为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$ ，其中 $| A |>0$ ，矩阵 $A$ 各行元素之和为 $a(a < 1)$ ，矩阵 $B$ 满足 $\left[\left(\frac{1}{2} A \right)^*\right]^{-1} B A =6 A B +12 E$ ，求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $P ^{ T } B P = \Lambda$ ．
计算二重积分 $\iint_D \frac{r \cos \theta(1+r \sin \theta) e ^{-r(\cos \theta+\sin \theta)}}{\cos \theta+\sin \theta} d \theta d r$ ，其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid r>0,0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right\}$ ．