解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{a(x-1)}{x+1}(a \in R)$ ．
（1）若函数 $f(x)$ 在定义域内是单调增函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）求证：$\frac{4}{\ln 2}+\frac{8}{\ln 3}+\frac{12}{\ln 4}+ L +\frac{4 n}{\ln (n+1)} < n(n+5), n \in N^*$ ．
已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-a e ^x-x(a \in R )$ ．
（1）当 $a>0$ 时，证明：$f(x) < 0$ 恒成立；
（2）当 $a=0$ 时，证明：$\left(1+\frac{1}{1 \times 2}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2 \times 3}\right) \&\left\{\left(1+\frac{1}{n(n+1)}\right) < e \left(n \in N^*\right)\right.$ ．
已知函数 $f(x)=e^x+a \ln x(a \in R)$
（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在（ $1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 的零点，若 $-e < a < 0$ ，求证：$f\left(x_0\right)>e^{x_0}$ ．
已知 $f(x)=x \ln x, g(x)=-x^2+a x-3$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对一切 $x \in(0,+\infty), 2 f(x) \geq g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）证明：对一切 $x \in(0,+\infty)$ ，都有 $\ln x>\frac{1}{e^x}-\frac{2}{e x}$ 成立．
材料：在现行的数学分析教材中，对＂初等函数＂给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的．如函数 $f(x)=x^x(x>0)$ ，我们可以作变形：$f(x)=x^x=\left( e ^{\ln x}\right)^x= e ^{x \ln x}= e ^t(t=x \ln x)$ ，所以 $f(x)$ 可看作是由函数 $f(t)= e ^t$ 和 $g(x)=x \ln x$ 复合而成的，即 $f(x)=x^x(x>0)$ 为初等函数，根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 $f(x)=x^x(x>0)$ 极值点
（2）对于初等函数 $h(x)=x^{x^2}(x>0)$ ，有且仅有两个不相等实数 $x_1, x_2\left(0 < x_1 < x_2\right)$ 满足：$h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right)= e ^k$ ．
（i）求 $k$ 的取值范围．
（ii）求证：$x_2^{e^2-2 e} \leq \frac{ e ^{-\frac{e}{2}}}{x_1}$（注：题中 e 为自然对数的底数，即 $e =2.71828 L$ ）
已知函数 $f(x)=x^2\left(\ln x-\frac{3}{2} a\right), a$ 为实数．
（1）当 $a=\frac{2}{3}$ 时，求函数在 $x=1$ 处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（3）若函数 $f(x)$ 在 $x= e$ 处取得极值，$f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，且 $f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right), x_1 < x_2$ ，证明： $2 < x_1+x_2 < e$ ．
设 $f(x)=\frac{1}{2} a x^2-(a+1) x+\ln x, \quad a \in R$ ．
（1）当 $a=2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $\forall x>0$ 有 $f(x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a < 0$ 时，若 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ，求证：$x_1 x_2 < 1$ ．
已知函数 $f(x)=a x-\frac{a}{x}-\ln x(a>0)$
（1）已知 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x-1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）已知 $f(x)$ 在定义域上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围．
（3）已知 $g(x)=f(x)+\frac{a}{x}$ 有两个零点 $x_1, x_2$ ，求实数 $a$ 的取值范围并证明 $x_1 x_2> e ^2$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{1+\ln x}{a x}$
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $\left( e x_1\right)^{x_2}=\left( e x_2\right)^{x_1}$ ，且 $x_1>0, x_2>0, x_1 \neq x_2$ ，证明：$\sqrt{x_1^2+x_2^2}>\sqrt{2}$ ．
已知函数 $f(x)=a e ^{-x}+\cos x(a \in R )$ ．
（1）若函数 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）当 $a=-1$ 时，$x_0$ 为 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上的零点，求证：$\frac{\pi}{2} < x_0+\frac{1}{ e ^{x_0}\left(\sin x_0-\cos x_0\right)}$ ．
已知函数 $f(x)=x^2-x+k \ln x, \quad k \in R$ ．
（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$ ，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < \frac{1}{4}-2 k$ ．
已知函数 $f(x)=e^{x-1}-a(x+1)(x \geq 1), g(x)=(x-1) \ln x$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．
（1）若 $f(x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若 $a$ 取（1）中的最大值，证明：$f(x) \geq g(x)$ ．