单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{x^2}^{\sin 2 x^2} \ln \cos t d t$ 是 $x^6$ 的（ ）
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但非等价无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=2$ ，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处取极小值
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处不取拐点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 的某左邻域内单调递减，某右邻域内单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内为凹函数
$I_1=\int_0^1 \frac{ e ^{x^2}-1}{x^2} d x, I_2=\int_0^1 \frac{ e ^x-1}{x} d x, I_3=\frac{1}{2} \int_0^1 e ^{x^2} d x$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设 $x_n=\frac{2}{n}+(-1)^n e ^{(-1)^n n}$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}(\quad)$
$\text{A.}$ 有下界，但没有最小值
$\text{B.}$ 有下界且有最小值
$\text{C.}$ 有上界，但没有最大值
$\text{D.}$ 有上界且有最大值
设有 $n$ 维列向量组（I ） $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和（II） $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m$ ，令 $s=r\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right), t=r\left( \beta _1\right.$ ， $\left.\beta _2, \cdots, \beta _m\right), r_1=r\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n, \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m\right)$ ，下列 $s, t, r_1$ 的取值中，能保证存在能同时由向量组（I）和向量组（II）线性表出的非零向量的有（ ）个
（1）$s=2, t=2, r_1=3$ ，（2）$s=2, t=1, r_1=3$ ，（3）$s=3, t=2, r_1=4$ ，（4）$s=n$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，则下列各个命题中，不是齐次线性方程组 $A x = 0$ 与齐次线性方程组 $B x=0$ 同解的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵方程 $X B = A$ 有解，且 $r( B )=r( A )$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A P = B$
$\text{D.}$ $r( A )=r( B )=r\left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则下列命题中，正确的有（ ）个
（1）$A^* \neq O$
（2）对任意的正整数 $n, r\left( A ^n\right)=r( A )$
（3）若矩阵 $B$ 满足 $A B = B A$ ，则当 $P ^{-1} A P$ 为对角矩阵时， $P ^{-1} B P$ 也为对角矩阵
（4）若矩阵 $B$ 满足 $A B = B A$ ，则当 $P ^{-1} B P$ 为对角矩阵时， $P ^{-1} A P$ 也为对角矩阵
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A, B$ 为随机事件，且 $P(A B)>0$ ，下列选项中，与 $P(A)=P(B)$ 不等价的是（ ）
$\text{A.}$ $P(\bar{A} \mid A \cup B)=P(\bar{B} \mid A \cup B)$
$\text{B.}$ $P(A \mid A \cup B)=P(B \mid A \cup B)$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \mid \bar{A} \cup B)=P(\bar{B} \mid A \cup \bar{B})$
$\text{D.}$ $P(\bar{A} \mid A \cup \bar{B})=P(\bar{B} \mid \bar{A} \cup B)$
在区间 $(0,1)$ 上随机地取 $n$ 个点，将这 $n$ 个点按照从大到小的顺序排列起来，分别记为 $X_{(1)}$ ， $X_{(2)}, \cdots, X_{(n)}$ ，则 $E\left(X_{(1)}-X_{(n)}\right)$ 和 $E\left(X_{(1)}-X_{(2)}\right)$ 分别为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{n-1}{n}, \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{n-1}{n}, \frac{1}{n+1}$
$\text{C.}$ $\frac{n-1}{n+1}, \frac{1}{n}$
$\text{D.}$ $\frac{n-1}{n+1}, \frac{1}{n+1}$
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array} X_1, X_2, \cdots, X_n\right.$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\left(X_1 X_2 \cdots X_n\right)^{\frac{1}{n}}$ 依概率收敛于（ ）
$\text{A.}$ $e^{-1}$
$\text{B.}$ $e ^{-\frac{1}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{1}{3}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{1}{4}}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{x}\right)^{\frac{1}{e^x \ln (1+x)+a x+h x^2}}= e$ ，则 $a b=$
$\int 2^x \arctan \sqrt{2^x-1} d x=$
设 $f(x)= e ^{x^2} \sin x+\frac{a}{1+x^2}$ ，若 $f^{\prime}(0)+f^{\prime \prime}(0)+f^{\prime \prime \prime}(0)=10$ ，则 $a=$
设生产某产品的边际成本 $M C=Q+2(1-Q) e ^{-Q}$ ，固定成本为 0 ，则平均成本 $\bar{C}(Q)$ 的最小值为
设 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right)$ ，可逆矩阵 $P$ 满足 $P ^{-1} A P = B$ ，则 $P =$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 4,4 ; 0)$ ，则 $D\left(X Y^2\right)=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D$ 为曲线 $|x|^3+|y|^3=1$ 所围的区域，求二重积分 $\iint_D|x|[1-\sin (x+y)] d x d y$ ．
已知 $y(x)$ 满足 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}+\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{1}{x^2} y=0(x>0)$ ，且 $y(1)=0, y^{\prime}(1)=1$ ．
（I）利用变换 $x= e ^{2 t}$ ，将上述方程化为常系数线性方程，并求 $y(x)$ ；
（II）计算在区间 $[1, e]$ 上，曲线 $y=y(x)$ 与 $x$ 轴之间的区域面积．
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+n+1}{n+1}(-1)^n x^{2 n}$ 的收敛域与和函数．
设有二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+a x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2-2 a x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 和 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=$ $\left(y_1+y_2-2 y_3\right)^2+\left(y_1-y_2+y_3\right)^2-\left(2 y_1-y_3\right)^2$ ，已知 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经过非退化的线性变换 $x = C y$ 可以化为 $g \left(y_1, y_2, y_3\right)$ ，则
（I）求 $a$ ；
（II）求可逆矩阵 $C$ ．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}A x^2 e ^{-\frac{x^2}{\sigma^2}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知参数，满足 $\theta>0, X_1$ ， $X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本．
（I）求 $A$ ；
（II）求 $\theta^2$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_1^2$ ；
（III）求 $\theta^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_2^2$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，满足 $f(0)=0, f(1)=1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2, x \in[0,1]$ ，证明：
（I）当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)-x| \leqslant \frac{1}{4}$ ；
（II）若 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)$ ，则当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant 2 x-x^2$ ．