单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \beta_1(x), \beta_2(x)$ 都是非零无穷小量，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ ， $\beta_1(x) \sim \beta_2(x)$ ，则下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_2(x)-\beta_2(x)=o\left(\alpha_2(x)\right)$ ．
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1(x)-\beta_1(x)=o\left(\alpha_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_2(x) \sim \beta_2(x)$ ．
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1(x)=o\left(\beta_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
下列幂级数的和函数在区间 $(0,1)$ 内必有零点的是（ ）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n-1)} x^n$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n}$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2 n+1}}{(2 n+1)!(2 n+1)} x^{2 n+1}$ ．
积分 $\int_0^1 x^a|\ln x|^b d x$ 收敛，则（）
$\text{A.}$ $a>-1, b>-1$ ．
$\text{B.}$ $a>-1, b < -1$ ．
$\text{C.}$ $a < -1, b>-1$ ．
$\text{D.}$ $a < -1, b < -1$ ．
设可导函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的解，并且在 $(-\infty, 0]$ 上满足 $f(x)=$ $g(x)$ ．若 $f(1)>1$ ，则 $g(x)$ 可能为 ()
$\text{A.}$ $x$ ．
$\text{B.}$ $x^2$ ．
$\text{C.}$ $x^3$ ．
$\text{D.}$ $x^4$ ．
设 $A$ 为 3 阶正交矩阵且 $A ^3= E$ ．已知 $\alpha , \beta$ 均为 3 维非零向量，且满足 $\alpha , A \alpha$ 线性无关， $\alpha$ ， $A \alpha , A ^2 \alpha$ 线性相关， $\beta ^{ T } \alpha = \beta ^{ T } A \alpha =0$ ．下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\alpha , A ^2 \alpha$ 线性无关．
$\text{B.}$ $\beta , A \beta$ 线性无关．
$\text{C.}$ $\alpha , A \alpha , \beta$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\beta , A \beta , A ^2 \beta$ 线性相关．
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵，若 1 不是 $A$ 的特征值，且 $| A |=-1$ ，则下列命题中，正确的是（ ）
（1） 2 不是 $A + A ^{-1}$ 的特征值．
（2） 2 不是 $A + A ^*$ 的特征值．
（3）－ 1 不是 $A + A ^{ T }- A A ^{ T }$ 的特征值．
（4） 1 不是 $A - A ^*+ A A ^*$ 的特征值．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （3）（4）．
$\text{C.}$ （1）（4）．
$\text{D.}$ （2）（3）．
现有两个命题：（1） $A ^*$ 对称当且仅当 $A$ 对称；（2） $A ^*$ 正定当且仅当 $A$ 正定．下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ （1），（2）均正确．
$\text{B.}$ （1）正确，（2）错误．
$\text{C.}$ （1）错误，（2）正确．
$\text{D.}$ （1），（2）均错误．
设随机变量 $X_1, X_2$ 均服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，且相互独立．若 $k$ 为非负整数，则下列结论中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P\left\{X_1+X_2=2 k\right\}=\frac{ e ^{-2 \lambda}(2 \lambda)^k}{k!}$ ．
$\text{B.}$ $P\left\{X_1+X_2=k\right\}=\frac{ e ^{-2 \lambda}(2 \lambda)^k}{k!}$ ．
$\text{C.}$ $P\left\{X_1+X_2=2 k\right\}=\frac{ e ^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ ．
$\text{D.}$ $P\left\{X_1+X_2=k\right\}=\frac{ e ^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ ．
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\mu, \sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，则样本均值 $\bar{X}$ 与总体均值 $\mu$ 的误差不超过 $\frac{\mu \sigma}{\sqrt{n}}$ 的概率 $p(\quad)$
$\text{A.}$ 随着 $\mu$ 增加而增加．
$\text{B.}$ 随着 $\mu$ 增加而减少．
$\text{C.}$ 随着 $n$ 增加而增加．
$\text{D.}$ 随着 $n$ 增加而减少．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x e ^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^2}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知正参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本．若 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的矩估计量，则 $D(\hat{\theta})=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{n}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{2 n}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{3 n}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{4 n}$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数
$$
f(x)=x \ln x+\frac{e}{6} x^3-\frac{e}{2} x^2+\left(\frac{e}{2}-1\right) x-\frac{e}{6}, \quad g(x)=x(\ln x-1)+e^x-e x,
$$
则曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的公共切线的方程为
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0, c)$ ，其中 $c>1$ ，值域为 $[1,+\infty), f(0)=1, f^{\prime}(x)=$ $|f(x)|^a$ ，则 $a$ 的取值范围是
设二元函数 $F(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，$F_1^{\prime}+\frac{1}{\sqrt{3}} F_2^{\prime} \neq 0, z=z(x, y)$ 是由方程 $F\left(x y z, \sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)=0$ 所确定的隐函数，且 $z(1,1)=1$ ，则 $\left. d z\right|_{(1,1)}=$
设 $a_n=\int_1^{+\infty} x^{-\frac{3}{2}} \ln ^n x d x$ ，则 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{a_n}=$
$\left|\begin{array}{ccc}b^2+c^2 & a^2+c^2 & a^2+b^2 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right|=$
设连续型随机变量 $X$ 的取值范围为 $(0,+\infty), \theta$ 为连接点 $(0,0)$ 与点 $\left(X, \frac{1}{X}\right)$ 的线段和 $x$轴正半轴的夹角．若 $\theta$ 服从 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的均匀分布，则当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$X$ 的概率密度 $f_X(x)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知抛物线 $l_1: y=(x+1)^2$ 和 $l_2: y=a x^2+b x$ 相切于唯一的公共点 $P$ ，其中参数 $b \in(-\infty, 0)$ ．记抛物线 $l_2$ 与 $x$ 轴所围图形的面积为 $A$ ，问：$A$ 是否存在最值？若存在，求出该最值．
设区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\},\left[x^2-y\right]$ 表示不超过 $x^2-y$ 的最大整数，计算 $I=\iint_D\left(1-\left[x^2-y\right]\right) \sqrt{\left|x^2-y\right|} d x d y$ ．
（ I ）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+\cdots+\sqrt[4]{n})\left(\frac{1}{\sqrt[4]{1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)$ ；
（II） 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^4+1}+\frac{2}{n^4+2}+\cdots+\frac{n}{n^4+n}\right)(\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{2}+\cdots+\sqrt[4]{n})\left(\frac{1}{\sqrt[4]{1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)$ ．
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导．证明：若对任意 $x \in(a, b)$ ，都有 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，则存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得
$$
\frac{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}=\frac{a^2+a b+b^2}{a+b} \cdot \frac{2 \xi_1}{3 \xi_2^2} .
$$
设 $A , B$ 均为 2 阶实对称矩阵， $A$ 的特征值为 $1,2, B$ 的特征值为 2,3 ．
（I）证明：当 $A B = B A$ 时，存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q ^{ T } A Q , Q ^{ T } B Q$ 均为对角矩阵．
（II）求 $\max _{ x \neq 0} \frac{ x ^{ T } B x }{ x ^{ T } A x }$ ．
设区域 $D$ 由直线 $y=x, y=1$ 和 $x= e$ 围成，二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2}{x y}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
（I）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
（II）设 $a \in[1,2)$ ，记 $p_1(a)=\int_{-\infty}^2 f_{X I Y}(x \mid a) d x, p_2(a)$ 为当 $Y \geqslant a$ 时，事件 $\{X \leqslant 2\}$ 发生的概率，请问 $p_1(a)$ 和 $p_2(a)$ 是否存在最大值？若均存在，则这两个最大值是否相等？