【29325】 【 《概率论与数理统计》考研数学试卷试题精选】 填空题 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N(1,1)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值．对任意的常数 $\alpha$ ， $(0<\alpha<1)$ ，自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的上侧 $\alpha$ 分位点 $\chi_a^2(n)$ 定义为 $P\left\{\chi^2>\chi_a^2(n)\right\}=\alpha$ ．则 $P\left\{\chi_{0.9}^2(n-1)<\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2<\chi_{0.2}^2(n-1)\right\}=$

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【29324】 【 《概率论与数理统计》考研数学试卷试题精选】 单选题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其中 $\mu$ 未知， $\bar{X}$ 是样本均值，则下列选项中，满足数学期望为 $\sigma^2$ 的统计量的是（）．

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【29323】 【 《概率论与数理统计》考研数学试卷试题精选】 单选题 设随机变量 $X \sim N(-1,1)$ ，其分布函数为 $F(x), \Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则下列不正确的选项是（）．

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【29322】 【 《概率论与数理统计》考研数学试卷试题精选】 解答题 二维随机变量设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc} 2, & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1-x, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array} \text { 令 } Z=\left\{\begin{array}{cc} 0, & X+Y \leqslant \frac{1}{2}, \\ X+Y, & X+Y>\frac{1}{2} . \end{array}\right.\right. $$ （1）求 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 处的值； （2）求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)$ ，由此求 $P\{Z=0\}$ ，并问 $Z$ 是否是连续型随机变量？ （3）记 $U=\max \{X, Y\}, V=\min \{X, Y\}$ ，求 $E(U+V)$ ．

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【29321】 【 《概率论与数理统计》考研数学试卷试题精选】 填空题 已知随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 相互独立，$X_i \sim\left(\begin{array}{cc} e & e ^2 \\ 0.4 & 0.6\end{array}\right), i=1,2, \cdots, 100$ ，则由中心极限定理，$P\left\{X_1 X_2 \cdots X_{100}< e ^{160}\right\} \approx$ $\qquad$ ．

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【29320】 【 武忠祥《高等数学月月考》一元导数学】 解答题 $\int \frac{\cos ^3 x-2 \cos x}{1+\sin ^2 x+\sin ^4 x} d x=$

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【29319】 【 武忠祥《高等数学月月考》一元导数学】 解答题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $I=\int_0^1 f(x) d x \neq 0$ ．证明：存在两个不同的点 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\frac{1}{f(\xi)}+\frac{1}{f(\eta)}=\frac{2}{I}$ ．

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【29318】 【 武忠祥《高等数学月月考》一元导数学】 解答题 设函数 $f(x)$ 二阶可导，$f(0)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，且对任意 $x \geq 0$ 有 $f^{\prime \prime}(x)-5 f^{\prime}(x)+6 f(x) \geq 0$ ，证明不等式 $f(x) \geq 3 e^{2 x}-2 e^{3 x},(x \geq 0)$ ．

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【29317】 【 李艳芳2025年硕士研究生入学考试数二模拟试卷第三套】 解答题 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 0 \\ a & 2 & b \\ 0 & b & 1\end{array}\right)$ ，且 $\alpha =(-1,1,1)^{ T }$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量． （I）求 $a, b$ ； （II）求正交变换 $x = Q y$ 将二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 化为标准形； （III）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解．

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【29316】 【 李艳芳2025年硕士研究生入学考试数二模拟试卷第三套】 解答题 已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且满足 $$ f(x)=\sqrt{1-\sin 2 x}-\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x $$ （I）求函数 $f(x)$ 的表达式； （II）记曲线 $y=f(x)$ 与 $y=-\frac{1}{4} \tan x$ 以及 $y$ 轴所围区域为 $D$ ，求区域 $D$ 绕直线 $y=-\frac{1}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．

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