单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数在 $x=0$ 处不可导的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)= \begin{cases}\int_0^x \frac{|\ln \cos 2 t|}{t} d t, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{cases}$
$\text{B.}$ $f(x)=\sqrt{\left|x^3-x^4\right|}$
$\text{C.}$ $f(x)=1-\sqrt{\cos x}$
$\text{D.}$ $f(x)=\frac{1-2^{\frac{1}{x}}}{1+2^{\frac{1}{x}}} \cdot \sin 2 x$
设 $\alpha=(\cos 2 x)^{x-\ln (1+x)}-1, \beta=\ln \frac{1+x^2}{1-x^3}, \gamma=\int_0^{\arcsin ^2 x} \frac{\sin \sqrt{t}}{2+t^2} d t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，三个无穷小的阶数由低到高的顺序为（）。
$\text{A.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{B.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{C.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
$\text{D.}$ $\gamma, \beta, \alpha$
设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=2$ ，且 $f^{\prime}(x) < 2 f(x)$ ，则下列结论正确的是（）．
$\text{A.}$ $f(-1)>2$
$\text{B.}$ $f(-1) < \frac{2}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $f(1)>2 e ^2$
$\text{D.}$ $f(1) < 2 e ^2$
函数 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t d t$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值和最大值分别为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}, \frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}, \frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}$
设 $y=y(x)$ 为微分方程 $2 x y d x+\left(x^2-1\right) d y=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解，则 $\int_0^{\frac{1}{2}} y(x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $-\ln 3$
$\text{B.}$ $\ln 3$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \ln 3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln 3$
设函数 $F$ 连续可偏导，且 $z=z(x, y)$ 由 $F\left(x^2-z^2, y^2-z^2, x^2+y^2\right)=0$ 确定，则 $y \frac{\partial z}{\partial x}- x \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_2^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{C.}$ $\frac{x y\left(F_1^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{x y\left(F_2^{\prime}-F_3^{\prime}\right)}{z\left(F_1^{\prime}+F_2^{\prime}\right)}$
设函数 $f(x)$ 连续可导，$f^{\prime \prime}(0)=2$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$x+a x^3-\int_0^x f(t) \cos 2 t d t \sim 2 x^3$ ，且 $x=0$为 $f(x)$ 的极值点，则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{5}{3}$
设 $M , N$ 为 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵， $A =\left(\begin{array}{cc} O & M \\ N & Q \end{array}\right)$ ，又 $P ^{-1} A P = B$ ，则 $B ^*=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $P^{-1}\left(\begin{array}{cc}-N^* Q M^* & |M| N^* \\ |N| M^* & O\end{array}\right) P$
$\text{B.}$ $\quad(-1)^{m n}\left(\begin{array}{cc}- N ^* Q M ^* & | M | N ^* \\ | N | M ^* & O \end{array}\right)$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n} P ^{-1}\left(\begin{array}{cc}- N ^* Q M \cdot & | M | N ^* \\ | N | M ^* & O \end{array}\right) P$
$\text{D.}$ $P^{-1}\left(\begin{array}{cc}O & |M| N^* \\ |N| M^* & -N \cdot Q M^*\end{array}\right) P$
设 $A$ 为 3 阶矩阵，将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行、第 1 列与第 2 列对调、第 2 列的 2 倍加到第 3 列得到 $C =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$
设 I： $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m ;$ II ： $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m$ ，令 $A =\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _m\right), B =\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m\right)$ ，若向量组 I 与向量组 II 等价，以下结论正确的是（ ）．
（1）方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解；
（2）$r\left(\begin{array}{ll} A & B \\ O & A \end{array}\right)=2 r( A ) ;$
（3）方程组 $A ^{ T } x = 0$ 与 $B ^{ T } x = 0$ 同解；
（4）$r\left(\begin{array}{cc} A & B ^{ T } \\ O & A \end{array}\right)=2 r( A )$ ．
$\text{A.}$ （1）（2）
$\text{B.}$ （1）（3）
$\text{C.}$ （2）（3）
$\text{D.}$ （2）（4）
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $L: y=y(x)(x \geqslant 0)$ 为单调递增函数，$y(0)=1$ ，且对任意 $P(x, y) \in L$ ，曲线在该点的斜率与 $[0, x]$ 上曲边梯形的面积之差为 $2 e ^x+\frac{1}{2} x^2$ ，则 $y(x)=$ $\qquad$ ．
设 $D$ 由 $L:\left\{\begin{array}{l}x=2(t-\sin t), \\ y=2(1-\cos t)\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴围成，则 $\iint_D x y d x d y=$
设函数 $z=f(x, y)$ 二阶连续可偏导，且 $f_{12}^{\prime \prime}(x+y, x y)=x^2+y^2, f_1^{\prime}(x, 0)=2 x^2+\sin x$ ， $f(0, y)= e ^y$ ，则 $f(x, y)=$
曲线 $L: y=(2 x+1) \int_0^x e ^{-t^2} d t$ 的斜渐近线为 $\qquad$ ．
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 d t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为 $\qquad$ ．
设 $A , B$ 为 3 阶矩阵，$r( B )=2, A B +2 B = O$ ，又 $r( A ) < 3$ 且 $A$ 可相似对角化，则 $\left|\begin{array}{cc}3( A - E )^{-1}+ A & E \\ O & ( A + E )\end{array}\right|=$ $\qquad$ .
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=f(x)= \begin{cases}x^{2 x}, & x>0, \\ x+1, & x \leqslant 0 .\end{cases}$
（1）讨论 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性；
（2）求 $f(x)$ 的极值点与极值．
设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x)+3 \int_0^x f(x-t) d t+2 \int_0^x t f(x-t) d t=2 e ^{-x}+5 x-1$ ．
（1）求 $f(x)$ ；
（2）求曲线 $y=f(x)(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成的无界区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，在 $(0,2)$ 内可导，且 $\int_0^1 f(x) d x=0, \int_1^2 f(x) d x=0, f(1)=1$ ．证明：
（1）存在 $c \in(0,1)$ ，使得 $(1-c)[1-f(0)]=f^{\prime}(c) e ^{c-1}$ ；
（2）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\int_0^{\xi} f(x) d x$ ．
设 $f(u, v)$ 二阶连续可偏导，且 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=2$ ，令 $g(x, y)=f\left(x y, \frac{x^2-y^2}{2}\right)$ ，若 $a \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}- b \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=x^2+y^2$ ，求常数 $a, b$ ．
设区域 $D$ 由 $x+y=1, x=1, y=1$ 围成，计算 $\iint_D \frac{\max \{x, y\}}{\sqrt{x^2+y^2}} d x d y$ ．
设 $\alpha =(1,1,-1)^{ T }$ 是 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的一个特征向量．
（1）确定参数 $a, b$ 及特征向量 $\alpha$ 所对应的特征值；
（2）讨论 $A$ 是否可以对角化，说明理由．