单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$T$ 为一常数，则下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 对于任意的 $a, \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$ ．
$\text{B.}$ 对于任意的 $a, \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=2 \int_0^a f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(-x)=f(x)$ ．
$\text{C.}$ 对于任意的 $a, \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 $\Leftrightarrow f(x)$ 有周期为 $T$ ．
$\text{D.}$ $f(x+T)=f(x) \Leftrightarrow \int_a^x f(x) \mathrm{d} x$ 以 $T$ 为周期．
解答题 （共 39 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0}\left\{\frac{\ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{2}{x}}\right)}{\ln \left(1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right)}-2[x]\right\}$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数；
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^x-x \arctan x}{\frac{\pi}{2} x+\mathrm{e}^x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x^2}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}$ ；
$f(x)$ 连续且满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}{x^2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[\int_0^{u^2} \arctan (1+t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} u}{\ln (1+x) \int_0^1 \tan (x t)^2 \mathrm{~d} t}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{1}{n}-\arctan \frac{1}{n+1}\right)$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin 2 x^2+\cos x\right)^{\frac{1}{\sin ^2 x}}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^2}+\cdots+\frac{n}{a^n}\right),(a>1)$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{\mathrm{e}^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{e}^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{3}{1 \times 2^2}+\frac{5}{2^2 \times 3^2}+\cdots+\frac{2 n+1}{n^2 \times(n+1)^2}\right]$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n^2+k}$.
设 $x_1=2, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $x_0=a, x_1=b, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+x_{n-1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $0 < x_1 < 1, x_{n+1}=2 x_n-x_n^2$ ，求证 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求其极限．
（I）证明方程 $\mathrm{e}^x+x^{2 n+1}=0$ 在 $(-1,0)$ 内有唯一的实根 $x_n(n=0,1,2, \cdots)$ ．
（II）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求其值．
设函数 $f(x)$ 处处具有连续导数，且 $0 < f^{\prime}(x) < \frac{1}{1+x^2}$ ．数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_n=f\left(x_{n-1}\right)$ ，求证 $\left\{x_n\right\}$ 收敛．
设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)=x+x \int_0^1 f(t) \mathrm{d} t+x^2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ ，求 $f(x)$ ．
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，请证明以下结论：
（1）当 $f\left(x_0\right)>0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
（2）当 $f\left(x_0\right) < 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=-f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
（3）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，但 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处不可导．
（4）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-l, l)$ 内有定义，且对任何的 $x, y \in(-l, l)$ 均有 $f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x) f(y)}$ ，又 $f^{\prime}(0)=1$ ，求证 $f(x)$ 在 $(-l, l)$ 上处处可导并求 $f(x)$ 的表达式．
设 $y=f(x)$ 是由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+2 t \\ t^2-y+a \sin y=1\end{array}\right.$ 确定，若 $\left.y\right|_{t=0}=b$ ，请计算 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$ ．
讨论方程 $a^x=b x(a>1)$ 的实根个数．
求曲线 $y=x^2 \ln (a x)(a>0)$ 的拐点，并求 $a$ 变动时的拐点的轨迹．
证明：当 $0 < a < b$ 时，$(1+a) \ln (1+a)+(1+b) \ln (1+b) < (1+a+b) \ln (1+a+b)$ ．
设函数 $f(x)$ 满足方程 $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{x}+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=\left(1+\frac{1}{x}\right) \ln ^2(1+x)-x$ ，若 $x_0>0$ 是函数 $f(x)$ 的驻点，试问 $x_0$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点，请说明你的理由．
求曲线 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 在 $(1,1)$ 处的曲率半径．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) < 0$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=k f(\xi)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\int_0^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=0, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $\int_0^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$.
设函数 $f(x), g(x)$ 均在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$ ，求证：存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=g^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\eta)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a)=f(c)=f(b), c \in(a, b)$ ．又设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内任意子区间内不恒为常数，求证存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime \prime}(\xi) < 0$ ．
$S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ ，
（1）证明：当 $N \in N_{+}$，且 $n \pi \leq x < (n+1) \pi$ 时， $2 n \leq S(x) < 2(n+1)$ ．
（2）求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$
证明 $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin x^2 \mathrm{~d} x>0$ ．
设 $f(x)$ 连续且满足 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ 且 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ ．
设 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上连续且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，其中 $l>0$ ．
（1）求证对任意的 $x \in(0, a)$ ，都存在 $\theta \in(0,1)$ ，使得下式成立：
$$
\int_0^x f(t) \mathrm{d} t+\int_0^{-x} f(t) \mathrm{d} t=x[f(\theta x)-f(-\theta x)]
$$
（2）求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta$ ．
已知 $y=f(x)$ 具有连续的导数，且 $f(1)=0, g(x)$ 是其反函数．求证：
$$
\int_0^1\left[\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=2 \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b x^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，求证 $f(x)=0$至少有三个实根．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且其图像关于 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称，证明：
$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=2 \int_a^{\frac{a+b}{2}} f(x) \mathrm{d} x
$$