李擂 2025年《硕士研究生入学考试模拟试卷8套卷(数二)》第一套

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李擂 2025年《硕士研究生入学考试模拟试卷8套卷(数二)》第一套

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

y = f (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = t + \ln t, \\ y = \frac{t - t^{3}}{\sin π t} \end{cases}

确定，则

f (x)

有

()

个可去间断点．

A.

B.

C.

D.

无穷多

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2. 设

[x]

表示不超过

x

的最大整数，则函数

f (x) = {\begin{cases} \int_{0}^{1} e^{x^{2} t^{2}} d t, & x ⩽ 0, \\ \frac{1}{[\frac{1}{x}]} + e^{- x}, & x > 0 \end{cases}

在

x = 0

处（

A.

极限不存在

B.

极限存在但不连续

C.

连续但不可导

D.

可导

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3. （3）设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续且以

T

为周期，则下列函数中，不一定以

T

为周期的是

A.

\int_{0}^{x} [f (\frac{t}{2}) - f (t)] d t

B.

\int_{0}^{x} [f (t) - f (2 t)] d t

C.

\int_{0}^{x} [f (2 t) - f (3 t)] d t

D.

\int_{0}^{x} f (2 t) d t - \frac{x}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t

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4. 设数列

{x_{n}}

无界，

{y_{n}}

收敛，则下列说法正确的有（）个
（1）数列

{e^{x_{n}} + y_{n}}

必定无界；
（2）数列

{x_{n} + e^{y_{n}}}

必定无界；
（3）数列

{\int_{y_{n}}^{x_{n}} \frac{d x}{\sqrt[4]{1 + x^{4}}}}

必定无界

A.

B.

C.

D.

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5. 设函数

f (x) = \sin x \cdot \ln (1 + x^{2})

，则

f^{(5)} (0) = ()

A.

B.

-80

C.

D.

-50

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6. 设

f (x)

为连续函数，则

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{\frac{1}{\cos θ + \sin θ}}^{\sec θ} f (r^{2}) 2 r d r = ()

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{1 - x}^{x} f (x^{2} + y^{2}) d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{1 - x}^{1} f (x^{2} + y^{2}) d y

C.

\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{1 - y}^{1} f (x^{2} + y^{2}) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} d y \int_{y}^{1} f (x^{2} + y^{2}) d x

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f (x^{2} + y^{2}) d y

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7. 下列反常积分发散的是（）

A.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\arctan x}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + x}} d x

B.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin^{2} x}{x^{\frac{3}{2}} \ln (1 + x)} d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\arctan x^{2}}{x^{2} \ln x} d x

D.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{(e^{- x} - 1) \ln (1 + \sqrt{x})}{x^{2}} d x

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8. 设

A

为

n

阶矩阵，则下列选项中不是矩阵

A + E

可逆的充分条件的是（）

A.

存在矩阵

P

，使得

A = P^{T} P

B.

矩阵

A

满足方程

A^{3} - A^{2} - 4 A + 4 E = O

C.

A α_{1} = α_{2}, A α_{2} = α_{3}, \dots, A α_{n - 1} = α_{n}, A α_{n} = α_{1}

，其中

α_{1}, \dots, α_{n}

为线性无关的

n

维列向量组

D.

r (A) = 1

且

A

的各行元素之和均为 1

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9. 设

A

为

n

阶非零矩阵，

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

A^{T}

为

A

的转置矩阵，则下列说法不正确的是（）

A.

{(A^{*})}^{*} = A

的充分条件是

A

为 2 阶矩阵

B.

A (A - E) = O

的必要条件是

A

可相似对角化

C.

B

为

A

的伴随矩阵的充要条件是

A B = | A | E

D.

若

A^{*} = A^{T}

，且

n > 2

，则

A

为正交矩阵

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10. 设

A

为

n

阶矩阵，则下列命题中是矩阵

A

不可相似对角化的充分条件的有（）个
（1）

r (A) > n - lim_{λ \to 0} \frac{\ln | f (λ) |}{\ln | λ |}

（其中

f (λ) = | λ E - A |

）；
（2）

r (A^{3}) < r (A^{2})

；
（3）

A \neq E

，且有

A^{2} + E = 2 A

；
（4）

r [A (A - 2 E)] > r [A^{2} (A - 2 E)]

．

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 已知曲线

L : y = \frac{1}{2} x^{2}, x ⩾ 0

，原点为

O (0, 0)

．设

P

是

L

上的动点，

s

是点

O

与点

P

之间曲线

L

的弧长，

V

是直线

O P

与曲线

L

所围成的平面区域绕

y

轴旋转一周所得到的旋转体体积，若

s

关于时间

t

变化的速率恒为 1 ，则当动点

P

运动到点

(2, 2)

时，

V

关于时间

t

变化的速率为

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12. 设函数

g (x)

二阶可导且满足

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} g (x) - x}{x^{2}} = 2, y = y (x)

由方程

x y + y^{3} + e^{x} g (x) = 1

确定，则

y^{''} (0) =

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13. 函数

f (x, y) = x^{3} - x^{2} y^{2} + y^{3}

有

个极值点．

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14. 微分方程

y^{'} = \frac{y - x}{x + y + 2}

的通解为

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15. 设函数

f (x) = \int_{0}^{x} \sqrt{\frac{3 + t^{2}}{1 - t^{4}}} d t

，则

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sqrt{\sin x}) \sin x d x =

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16. 设3维列向量组

α, β, γ

为一个正交单位向量组，矩阵

A = (α - β) γ^{T} + (β - γ) α^{T} + (γ - α) β^{T}

，则

A^{*} x = 0

的一组基础解系为

．（用

α, β, γ

表示）

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

D = {(x, y) ∣ x y ⩽ x^{3} + y^{3} ⩽ 2 x y, x > 0, y > 0}

，求二重积分

\iint_{D} \frac{(2 x + 1)^{2} - (y + 2)^{2}}{x^{2} + y^{2}} d x d y

．

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18. 设函数

y (x)

是微分方程

x^{2} y^{'} + y = (1 - x^{3}) e^{- \frac{x^{2}}{2}}

满足

lim_{x \to \infty} y (x) = 0

的解．
（ I ）求

y (x)

；
（II）设

I_{a}

是曲线

y = y (x)

在点

(a, y (a))

处的法线在

y

轴上的截距，证明：当

a \neq 0

时，恒有

I_{a} < - a^{2} - \frac{a^{6}}{24}

．

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19. 设

D_{n}

是

f (x) = \arcsin (\sin x) \cdot e^{- x} (0 ⩽ x ⩽ n π)

与

x

轴所围成的图形，
（I）求

D_{n}

的面积

S_{n}

，并求

lim_{n \to \infty} S_{n}

；
（ II ）设

D_{n}

绕

y

轴旋转一周所得的旋转体体积为

V_{n}

，证明：

lim_{n \to \infty} V_{n}

存在．

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20. 设函数

f (u, v)

具有二阶连续的偏导数，

z = f (\frac{x^{2} + y^{2}}{2}, \frac{x^{2} - y^{2}}{2})

满足

y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} - x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} - \frac{y^{2}}{x} \frac{\partial z}{\partial x} +

\frac{x^{2}}{y} \frac{\partial z}{\partial y} = 4 y^{2}

,
（I）求

\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}

；
（II）若

{\frac{\partial f}{\partial u} |}_{(u, u)} = \ln | 2 u | - u, f (v, v) = 2 v \ln | 2 v | - v - \frac{v^{2}}{2}

，求

f (1, 1)

．

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21. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上具有连续的二阶导数，满足

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to 1} \frac{f (x)}{x - 1} = 1

，且

\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = 1

，证明：
（ I ）

\int_{0}^{1} | f^{'} (x) | d x ⩽ 1

；
（II）存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f (ξ) + f^{''} (ξ) = 0

．

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22. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 4 x_{1} x_{3} + 8 x_{2} x_{3}

通过正交变换

x = Q y

化为了

g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) = (b + c) y_{1}^{2} + 2 b y_{2}^{2} + (b + c) y_{3}^{2} + 2 (b - c) y_{1} y_{3}

，
（I）求

a, b, c

；
（II）求正交矩阵

Q

．

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