解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（武汉大学，2014 年；南开大学，2008 年）设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 上的非退化双线性函数．证明：对任何 $g \in V^*$ ，存在唯一的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，使得
$$
g(\boldsymbol{\beta})=f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), \quad \forall \boldsymbol{\beta} \in V .
$$
（北京大学，2012 年）设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，已知 $f$ 能分解成 $V$ 上的两个线性函数 $f_1$ 与 $f_2$ 之积：
$$
f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=f_1(\boldsymbol{\alpha}) f_2(\boldsymbol{\beta}), \quad \forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V .
$$
证明：存在非零常数 $k \in K$ 及线性函数 $g$ ，使
$$
f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=k g(\boldsymbol{\alpha}) g(\boldsymbol{\beta}) .
$$
设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$f$ 关于 $V$ 的一个基的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．已知 $n$ 元实二次型 $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的负惯性指数等于 0 ．证明：
$$
W=\{\boldsymbol{\alpha} \in V \mid f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})=0\}
$$
是 $V$ 的一个子空间，并求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ．
（北京大学，1999 年）设实数域上的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为
$$
A=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 & 6 & -2 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right) .
$$
（1）判断 $\boldsymbol{A}$ 是否为正定矩阵，要求写出理由；
（2）设 $V$ 是实数域上的 3 维线性空间，$V$ 上的一个双线性函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 在 $V$ 的一个基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．证明 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 的一个内积，并且求出 $V$ 对于这个内积所成的欧氏空间的一个标准正交基．
（南京理工大学，2007 年）设 $V$ 是复数域上的线性空间，其维数 $n \geqslant 2, f(\boldsymbol{\alpha}$ ， $\boldsymbol{\beta}$ ）是 $V$ 上的一个对称双线性函数．
（1）证明 $V$ 中有非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ ，使 $f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=0$ ；
（2）如果 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是非退化的，那么必有线性无关的向量 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \in V$ ，满足
$$
f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=1, \quad f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=f(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\eta})=0
$$
（北京交通大学，2004 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵，$B=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．求 $\boldsymbol{B}$ 的正、负惯性指数．
（武汉大学，2003 年）求实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=n \sum_{i=1}^n x_i^2-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2
$$
的秩和正、负惯性指数 $(n \geqslant 2)$ ．
（上海大学，2007 年）设二次型 $f(\boldsymbol{x})=2 x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 经过正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2$ ．求参数 $a, b$ 及正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．
（华东师范大学，2000 年）求一可逆线性替换，把二次型
$$
2 x_1^2-2 x_1 x_2+5 x_2^2-4 x_1 x_3+4 x_3^2
$$
与
$$
\frac{3}{2} x_1^2-2 x_1 x_3+3 x_2^2-4 x_2 x_3+2 x_3^2
$$
同时化为标准形．
（北京交通大学，2015 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=n$ ，作实二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j, \quad g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j,
$$
其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．证明：$f$ 与 $g$ 具有相同的正、负惯性指数．
（华南理工大学，2016 年）设 $l_i=c_{i 1} x_1+c_{i 2} x_2+\cdots+c_{i n} x_n, i=1,2, \cdots, p+q$ ，这里 $c_{i j} \in \mathbb{R}$ ．试证明：$n$ 元实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=l_1^2+l_2^2+\cdots+l_p^2-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2$ 的正惯性指数 $\leqslant p$ ，负惯性指数 $\leqslant q$ ．
（武汉大学，2011年；北京师范大学，1995年）设 $n$ 元实二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$的秩为 $n$ ，正、负惯性指数分别为 $p, q$ ，且 $p \geqslant q>0$ ．
（1）证明存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\forall x_0 \in W, f\left(x_0\right)=0$ ；
（2）令 $T=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid f(\boldsymbol{x})=0\right\}$ ，问 $T$ 是否与 $W$ 相等？为什么？
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ．
（1）问当 $a$ 取何值时，$f$ 为正定二次型？
（2）取 $a=1$ ，试用非退化线性替换把 $f$ 化为规范形，并写出所用线性替换；
（3）取 $a=1$ ，问当 $b$ 取何值时，矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 与 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 合同？
（中国科学院，2004 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶实对称正定矩阵，且 $\boldsymbol{A}>\boldsymbol{B}$（即 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ 为正定矩阵），试问是否一定有 $\boldsymbol{A}^2>\boldsymbol{B}^2$ ？为什么？
（厦门大学，2006 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充分必要条件是存在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵．
（中国科学院，2003 年）设 $\boldsymbol{Q}$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵， $\boldsymbol{x}$ 是 $n$ 维实列向量．证明：
$$
0 \leqslant \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{x} < 1
$$
这里 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 的转置．
（南京大学，2014 年；浙江大学，2008 年）已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}$ 成为对角矩阵．
（东南大学，2005年）假设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，并且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值及相应的特征向量，并求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{9999}$ 。
（中国科学院，2001年；湖南大学，2002年）设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，试证明：
$$
\operatorname{tr}(A B A B) \leqslant \operatorname{tr}(A A B B)
$$
其中 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}$ 表示方阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹（即 $\boldsymbol{A}$ 的对角元素之和）．
（东北大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$x$ 为任一 $n$ 维非零实向量．证明：存在 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量 $\boldsymbol{\xi}$ ，使 $\boldsymbol{\xi} \in L\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots\right)$ ，这里 $L\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots\right)$ 表示由 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots$ 生成的子空间．