单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调，数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的任何子列都收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
已知当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\int_0^1 \frac{x^n}{a+x} d x$ 与 $\frac{1}{3 n}+\frac{1}{b n^2}$ 等价，其中 $a>0$ ，则 $a+b=(\quad$ ）．
$\text{A.}$ 11
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 4
曲线 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上曲率半径的最小值为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
已知 $f(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，当 $x \in[0,1]$ 时，$f^{\prime}(x)=\arcsin \sqrt{2 x-x^2}, f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $[-1,5]$ 上的平均值为 () ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{12}$
已知 $z=2 x-3 y$ ，其中 $x, y$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}x y+u-v=1, \\ 2 x^2-y+u v=0\end{array}\right.$ 确定的 $u$ 与 $v$ 的隐函数，当 $(x, y)=$ $\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}, 0\right)$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial u}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $-4+\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $4+\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $-4-\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $4-\frac{13 \sqrt{2}}{2}$
已知奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内三阶可导，则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-t f^{\prime}(t)}{\int_0^{\sqrt{t}} d x \int_{x^2}^t \sin \left(\sqrt{y} x^2\right) d y}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{B.}$ $-3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
下列说法
（1）已知 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足 $B C = O$ ，且 $r( A ) < r( C )$ ，则存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha =$ Bo；
（2）已知矩阵方程 $A X B = C$ 有解，其中 $A , B , C$ 分别为 $m \times n, l \times s, m \times s$ 矩阵， $X$ 为 $n \times l$ 矩阵，若 $r( A )=r( A \vdots C )=n, r( B )=r\binom{ B }{ C }=l$ ，则方程 $A X B = C$ 有唯一解；
（3）非齐次方程组 $\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right)\binom{ x }{ y }=\binom{ 0 }{ \beta }$ 有解的充要条件是 $r( B )>0, r( A )=r( A \vdots \beta )$ ；
（4）非齐次方程组 $A x = \beta$ 有解的充要条件是向量 $\beta$ 与齐次方程组 $A ^{ T } x = 0$ 的所有解向量正交．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若矩阵 $A , B$ 相似，则不一定存在矩阵 $P _1, P _2$ ，使得 $A = P _1 P _2, B = P _2 P _1$
$\text{B.}$ 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A , B$ 都可相似对角化，则 $A B = B A$ 不一定成立
$\text{C.}$ 若 $n$ 阶矩阵 $A , B$ 都满足矩阵方程 $X ^2=\lambda X (\lambda \neq 0)$ ，则矩阵 $A , B$ 相似的充要条件为 $r( A )=r( B )$
$\text{D.}$ 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则矩阵 $A ^{ T } A$ 的特征值均大于 0
已知 3 阶矩阵 $A = E -\frac{ \alpha \alpha ^{ T }}{4}+\frac{ \beta \beta ^{ T }}{ \beta ^{ T } \alpha }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 均为 3 维列向量，有 $\| \alpha \|=2,\| \beta \|=1$ ， $\alpha ^{ T } \beta >0$ ，下列说法
（1）若 $\alpha - \beta$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，则 $\alpha ^{ T } \beta =2$ ；（2）若 $\alpha , \beta$ 成比例，则 $\alpha =2 \beta$ ；（3）矩阵 $A$ 正定．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)-\ln \left(1+x^3\right)}{x-\tan x}=0, f(x+y)=f(x)+f(y)+$ $\frac{1}{2} y f^{\prime}(x)+\frac{1}{2} x f^{\prime}(y)$ ，则 $f(x)=$
曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处对应点在直角坐标系下的法线方程为
两根均匀细杆 $A B, C D$ 在一条水平线上，已知细杆 $A B$ 长 3 m ，线密度 $\rho_1=4 kg / m ; C D$ 长 6 m ，线密度 $\rho_2=2 kg / m$ ，两根细杆相邻两端点 $B, C$ 距离为 4 m ．有一单位质点位于 $B, C$ 之间，则质点距离端点 $B$ 为 $\qquad$ m ，可使得两根细杆对质点的引力相等．
已知函数 $f(x, y)= e ^y\left(a x^2-y+b\right)$ 在 $(0,0)$ 点取得极值，则参数 $a, b$ 的取值范围为
已知函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{4}\right.\right\}$ 有连续偏导数，且 $f(x, x)=$
$$
\frac{\sec ^2 x}{(1+\tan x)^2}, \iint_D f(x, y) d x d y=\ln 2 \text {, 则 } \iint_D y f_y^{\prime} d x d y=
$$
已知 3 阶实对称矩阵 $B$ 对应的二次型的正，负惯性指数相等，与矩阵 $B$ 相似的矩阵 $A$ 满足 $\left( A \alpha _1, A \alpha _2, A \alpha _3\right)=\left(a \alpha _1,(a-1) \alpha _3,(2+a) \alpha _2+3 \alpha _3\right)$ ，且对任一非零列向量 $\beta$ ，方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = \beta$ 均有解，则 $| B + E |=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(a-6) \sin x+x^a \cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a \ln (1-a x), & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导．
（1）求参数 $a$ ；
（2）令 $\varphi(x)=f(x)\left( e ^x-1\right)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0), \varphi^{\prime \prime}(0)$ ．
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．
已知 $0 < x < 1$ ，证明：$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x(1+x)^{\frac{1}{x}} < 4$ ．
已知 $z=z(x, y)$ 是由方程 $10 x^2-6 x y+y^2-2 x z-z^2+18=0$ 确定的函数．
（1）求 $z=z(x, y)$ 的极值；
（2）求 $z=z(x, y)$ 在约束条件 $y=x$ 下的极值．
计算积分 $I=\iint_D(x-1)(2 x-y) d x d y$ ，积分区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{(x+1)^2}{2}+\frac{(y-1)^2}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ ．
已知向量组（I）：
$$
\alpha _1=(2,1,-1)^{T}, \alpha _2=(1,-1,1)^{T}, \alpha _3=(4,5, c)^{T}
$$
向量组（II）：
$$
\beta _1=(a, b,-1)^{T}, \beta _2=(2,-1, a)^{T}
$$
（1）若向量组（I）与向量组（II）等价，求参数 $a, b, c$ ，并分别写出 $\beta _1, \beta _2$ 用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示的表达式；
（2）求齐次方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = 0$ 与 $\binom{ \beta _1^{ T }}{ \beta _2^{ T }} x = 0$ 的非零公共解．