解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（北京大学，1996 年）设线性空间 $V$ 中的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关．
（1）试问：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 是否线性无关？要求说明理由．
（2）求由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ 生成的线性子空间 $W$ 的一个基以及 $W$ 的维数．
（中山大学，2006 年）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是实数域上三维向量空间 $V$ 的一个基， $\boldsymbol{\beta}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2=-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=2 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．证明： $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 也是 $V$ 的一个基，并求 $V$ 中在这两个基下坐标相同的所有向量．
设 $S$ 为全体满足条件 $x_n=x_{n-1}+x_{n-2}(n \geqslant 3)$ 的实数列
$$
\left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots\right)
$$
所构成的集合，已知 $S$ 按照如下定义的加法与数量乘法
$$
\begin{gathered}
\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)+\left(y_1, y_2, \cdots, y_n, \cdots\right)=\left(x_1+y_1, x_2+y_2, \cdots, x_n+y_n, \cdots\right) \\
k\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)=\left(k x_1, k x_2, \cdots, k x_n, \cdots\right)
\end{gathered}
$$
构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间．
（1）求 $S$ 的一个基与维数 $\operatorname{dim} S$ ；
（2）给出 $S$ 的一个由等比数列所组成的基；
（3）求斐波那契（Fibonacci）数列 $(0,1,1,2,3,5,8, \cdots)$ 的通项公式．
（华南理工大学，2014 年）设 $W=\left\{f(x) \mid f(1)=0, f(x) \in \mathbb{R}[x]_n\right\}$ ，这里 $\mathbb{R}[x]_n$ 表示实数域 $\mathbb{R}$ 上的次数小于 $n$ 的多项式添上零多项式构成的线性空间．
（1）证明 $W$ 是 $\mathbb{R}[x]_n$ 的线性子空间；
（2）求 $W$ 的维数与一个基．
（华中师范大学，1991 年）设 $S(\boldsymbol{A})=\left\{\boldsymbol{B} \in P^{n \times n} \mid \boldsymbol{A} \in P^{n \times n}\right.$ 且 $\left.\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}\right\}$ ．
（1）证明：$S(\boldsymbol{A})$ 是 $P^{n \times n}$ 的子空间；
（2）设 $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=r$ ，求 $S(\boldsymbol{A})$ 的一个基和维数．
（北京大学，2010 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关，并且可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示．证明：必存在某个向量 $\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2, \cdots, t)$ 使得向量组 $\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．
（哈尔滨工业大学，2009 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，且可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示．证明：存在 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 的一个置换 $\boldsymbol{\beta}_{i_1}, \boldsymbol{\beta}_{i_2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{i_t}$ ，使向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r, \boldsymbol{\beta}_{i_{r+1}}, \boldsymbol{\beta}_{i_{r+2}}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{i_t}$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 等价 $(r=1,2, \cdots, s)$ ．
（北京航空航天大学，2005 年）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 是 $K^n$ 中的两个线性无关向量组，证明：子空间
$$
L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r\right) \cap L\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s\right)
$$
的维数等于齐次线性方程组
$$
x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_r \boldsymbol{\alpha}_r+y_1 \boldsymbol{\beta}_1+y_2 \boldsymbol{\beta}_2+\cdots+y_s \boldsymbol{\beta}_s=\mathbf{0}
$$
的解空间的维数．
（南京大学，2016 年）设 $W$ 为实 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，且 $W$ 中的每个非零向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 的零分量的个数不超过 $r$ ．证明： $\operatorname{dim} W \leqslant r+1$ ．
（北京师范大学，2007 年）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．证明：
（1）$V$ 的任意一个真子空间均可表为若干个 $n-1$ 维子空间的交．
（2）存在 $V$ 的 $n-1$ 维子空间 $V_1, V_2, V_3$ 使得 $\left(V_1+V_2\right) \cap V_3 \neq\left(V_1 \cap V_3\right)+\left(V_2 \cap V_3\right)$ ．
（华中师范大学，1993年）设 $W, W_1, W_2$ 都是线性空间 $V$ 的子空间，$W_1 \subseteq W, V=W_1 \oplus W_2$ ，证明： $\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_1+\operatorname{dim}\left(W_2 \cap W\right)$ 。
（上海交通大学，2004 年；重庆大学，2008 年）设 $V_1, V_2$ 分别表示以下两个关于未知数 $x, y, z$ 的方程组的解空间：
$$
\left\{\begin{array} { r }
{ a x + y + z = 0 , } \\
{ x + a y - z = 0 , } \\
{ - y + z = 0 , }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
b x+y+z=0 \\
x+b y+z=0 \\
x+y+b z=0
\end{array}\right.\right.
$$
试确定 $a, b$ 的值，使得 $V_1+V_2$ 为 $V_1$ 与 $V_2$ 的直和．
（武汉大学，2006 年）设数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 关于乘法两两可交换，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}$（其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵），又设齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}, \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间分别为 $W, V_1$ 和 $V_2$ ．证明：$W=V_1 \oplus V_2$ ．
设 $\mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上的线性空间 $V$ 到 $V^{\prime}$ 的一个同构映射，$W$ 是 $V$ 的一个子空间，证明： $\mathscr{A}(W)$ 是 $V^{\prime}$ 的子空间．
设 $a, b \in \mathbb{C}$ 是两个复数，考虑 $\mathbb{C}[x]$ 的子空间
$$
\begin{aligned}
& V_a=\{f(x) \in \mathbb{C}[x] \mid f(a)=0\}, \\
& V_b=\{g(x) \in \mathbb{C}[x] \mid g(b)=0\} .
\end{aligned}
$$
证明：$V_a$ 与 $V_b$ 同构．
（中国科学技术大学，2014 年）设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换．求证：存在 $V$ 的子空间 $W$ 与 $\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 同构，并且 $V=W \oplus \operatorname{ker} \mathscr{A}$ 。
设 $C$ 为复数域，令
$$
V=\left\{\left.\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
\alpha & \beta \\
-\beta & \alpha
\end{array}\right) \right\rvert\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}\right\} .
$$
（1）证明：$V$ 关于矩阵的加法、数与矩阵的乘法构成实数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间；
（2）求 $V$ 的一个基和维数 $\operatorname{dim} V$ ；
（3）记 $\operatorname{dim} V=n$ ，给出 $V \rightarrow \mathbb{R}^n$ 的一个同构映射，请阐述理由．
（武汉大学， 2016 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，rank $\boldsymbol{A}=r$ ， $\operatorname{rank} \boldsymbol{B}=s, \operatorname{rank}\binom{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}=k$ ．又设 $W_1, W_2$ 为分别满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$ 的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{X} \in M_n(f)$ 构成的解空间．试求 $\operatorname{dim}\left(W_1+W_2\right)$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（武汉大学，2014 年）证明：在线性空间定义中，第（3），（4）两条公理，即
（3）在 $V$ 中存在零元素 $\mathbf{0}$ ，即对所有的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ；
（4）对所有的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，都存在负元素 $\boldsymbol{\beta} \in V$ ，使得 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，可换成等价条件：对 $V$ 中任意两个元素 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ ，一定存在 $\boldsymbol{x} \in V$ ，使得 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ ．