单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $b$ 为 3 维行向量， $\mathrm{V}=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid\left(x_1, x_2, x_3\right)=b\right\}$ ，则
$\text{A.}$ 对任意的 $b, \mathrm{~V}$ 均是线性空间；
$\text{B.}$ 对任意的 $b, \mathrm{~V}$ 均不是线性空间；
$\text{C.}$ 只有当 $b=0$ 时， V 是线性空间；
$\text{D.}$ 只有当 $b \neq 0$ 时， V 是线性空间。
已知向量组 I：$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 可以由向量组 II：$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ 线性表示，则下列叙述正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 I 线性无关，则 $s \leq t$ ；
$\text{B.}$ 若向量组 I 线性相关，则 $s>t$ ；
$\text{C.}$ 若向量组 II 线性无关，则 $s \leq t$ ；
$\text{D.}$ 若向量组 II 线性相关，则 $s>t$ 。
设非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 中未定元个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则
$\text{A.}$ 当 $r < n$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解；
$\text{B.}$ 当 $r=n$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有唯一解；
$\text{C.}$ 当 $r < m$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有解；
$\text{D.}$ 当 $r=m$ 时，方程组 $A X=\beta$ 有解。
设 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 阶矩阵，且 $A B=I$ ，则
$\text{A.}$ $r(A)=m, r(B)=m$
$\text{B.}$ $r(A)=n, r(B)=m$
$\text{C.}$ $r(A)=n, r(B)=n$
$\text{D.}$ $r(A)=m, r(B)=n$
设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换 $\varphi$ 在基 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 下的表示矩阵是 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\varphi$ 在基 $\xi_1, 2 \xi_2, \xi_3$ 下的表示矩阵是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ；
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} & 1\end{array}\right)$ ；
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ；
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & \frac{1}{2} & 1\end{array}\right)$ 。
设 $\varphi$ 是 V 到 U 的线性映射， $\operatorname{dim} \mathrm{V}=n, \operatorname{dim} \mathrm{U}=m$ 。若 $m < n$ ，则 $\varphi$
$\text{A.}$ 必是单射；
$\text{B.}$ 必非单射；
$\text{C.}$ 必是满射；
$\text{D.}$ 必非满射。
设 $V 、 U 、 W$ 是数域 $K$ 上的线性空间，又设 $\varphi 、 \psi 、 \gamma$ 是都是 $V$ 上的线性变换，则下列结论正确的有 $\_\_\_\_$个
（1） $\operatorname{Ker}(\varphi+\psi) \subseteq \operatorname{Ker} \varphi+\operatorname{Ker} \psi$ ；
（2） $\operatorname{Im}(\varphi+\psi) \subseteq \operatorname{Im} \varphi+\operatorname{Im} \psi$ ；
（3） $\operatorname{Ker} \varphi \subseteq \operatorname{Ker}(\gamma \varphi)$ ；
（4） $\operatorname{Im} \varphi \subseteq \operatorname{Im}(\varphi \gamma)$ 。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
与数域 K 上的线性空间 $\mathrm{V}=\{(a, b) \mid a, b \in \mathrm{~K}\}$ 同构的线性空间有 $\_\_\_\_$个。
（1） $\mathrm{W}=\{(a-b, a+b) \mid a, b \in \mathrm{~K}\}$ ；
（2） $\mathrm{W}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ a+b & a-b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathrm{~K}\right\}$ ；
（3） $\mathrm{W}=\{(a+b, a+b) \mid a, b \in \mathrm{~K}\}$ ；
（4） $\mathrm{W}=\{(a, a, b) \mid a, b \in \mathrm{~K}\}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关，$\beta_1=2 \alpha_2+3 \alpha_3+\ldots+r \alpha_r, \beta_2=\alpha_1+3 \alpha_3+\ldots+r \alpha_r, \ldots \ldots$ ， $\beta_r=\alpha_1+2 \alpha_2+\ldots+(r-1) \alpha_{r-1}, \beta_{r+1}=\alpha_1+2 \alpha_2+\ldots+(r-1) \alpha_{r-1}+r \alpha_r$ ，则 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{r+1}$（选填 ＂线性相关＂，＂线性无关＂，＂无法确定＂）
设 I：$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 和 II：$\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t$ 是线性空间 $V$ 中两个向量组，向量组 I 可由向量组 II 线性表示，且 $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})$ ，则向量组 I 与向量组 II $\_\_\_\_$ （选填＂必等价＂，＂末必等价＂），$s$ 与 $t$ $\_\_\_\_$ （选填＂必相等＂，＂末必相等＂）
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 都是 4 维列向量，$A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 。已知齐次线性方程组 $A X=0$ 的通解是 $k(0,1,1,0)^{\prime}$ 。以 $A$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数是 $\_\_\_\_$ ，而 $\_\_\_\_$是它的一个基础解系。
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$ 分别有 $l, m$ 个线性无关解向量，且 $l+m>n$ ，则 $(A+B) x=0$＿＿（ 选填＂必有＂，＂末必有＂）非零解。
设 $\left\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right\}$ ，$\left\{\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n\right\}$ 是 V 的两组基，$\left(\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n\right)=\left(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right) P$ 。又若 V 中向量 $\alpha$ 在基 $\left\{\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_n\right\}$ 下的坐标向量是 $X$ ，则 $\alpha$ 在基 $\left\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right\}$ 下的坐标向量是 $\_\_\_\_$
设 $V_1, V_2$ 都是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim}\left(V_1+V_2\right)=\operatorname{dim} V_1+1$ ，则 $\operatorname{dim} \mathrm{V}_2-\operatorname{dim}\left(\mathrm{V}_1 \cap \mathrm{~V}_2\right)=$
设 $\varphi$ 是 V 到 U 的线性映射，且 $\varphi\left(\xi_1, \xi_2, \xi_3\right)=\left(\eta_1, \eta_2\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\left\{\xi_1, \xi_2, \xi_3\right\}$ ，$\left\{\eta_1, \eta_2\right\}$ 分别是 V 和 U 的一组基，则 $\operatorname{Ker} \varphi=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{Im} \varphi=$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，由 $X \mapsto A X$ 定义了 $\mathrm{R}^{2 \times 1}$ 上的线性变换 $\varphi$ ，则 $\varphi$ 的不变子空间是 $\_\_\_\_$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。问下列向量组 $\alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 是否也是齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系？为什么？
设 $\varphi$ 是数域 K 上 $n$ 维线性空间 V 的线性变换，$\alpha$ 是 V 中一个向量，且满足 $\varphi^{n-1}(\alpha) \neq 0$ ， $\varphi^n(\alpha)=0$ 。证明：$\alpha, \varphi(\alpha), \ldots, \varphi^{n-1}(\alpha)$ 是 V 的一组基，并求 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵。
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵且 $r(A)=r$ 。求证 $A^2=A$ 的充要条件是存在 $n \times r$ 矩阵 $S$ 和 $r \times n$ 矩阵
$T$ ，使得 $A=S T, T S=I_r, r(S)=r(T)=r$ 。
设 V 是数域 K 上 $n$ 维线性空间，$\varphi, \sigma$ 是 V 上线性变换，且 $\varphi^2=0, \sigma^2=0$ ， $\varphi \sigma+\sigma \varphi=i d_{\mathrm{V}}$ ，其中 $i d_{\mathrm{V}}$ 是 V 上恒等变换。求证：
（1） $\mathrm{V}=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ；
（2）V必是偶数维线性空间。
设 $\varphi, \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 V 上线性变换，且 $r(\varphi)+r(\sigma) \leq n$ 。证明：存在 V 上可逆变换 $\tau$ ，使 得 $\varphi \tau \sigma=0$.