解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（北京交通大学，2017年）求下面矩阵的行列式因子与不变因子：
$$
\boldsymbol{A}(\lambda)=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_n \\
-1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} \\
0 & -1 & \lambda & \cdots & 0 & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & a_2 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda+a_1
\end{array}\right) .
$$
（华东师范大学，2004 年）设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right), \boldsymbol{\beta}=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)$ 是两个非零的复向量，且 $\sum_{i=1}^n a_i b_i=0$ ，令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ．试求 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形以及不变因子．
（武汉大学，2016 年；华中师范大学，1999 年）设 $\sigma$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，已知 $\sigma$ 的特征多项式和最小多项式分别为
$$
\begin{aligned}
& f(\lambda)=(\lambda+1)^3(\lambda-2)^2(\lambda+3) \\
& m(\lambda)=(\lambda+1)^2(\lambda-2)(\lambda+3)
\end{aligned}
$$
（1）求 $\sigma$ 的所有不变因子；
（2）写出 $\sigma$ 的 Jordan 标准形．
（东南大学，2002年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶方阵， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=3$ ，且存在正整数 $k$ ，使 $\boldsymbol{A}^k= \boldsymbol{O}$ ，试求 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{A}^2$ 的 Jordan 标准形．
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，$d_1(\lambda), d_2(\lambda), \cdots, d_n(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的所有不变因子，证明：$\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ 的充分必要条件是
$$
\left(\lambda-\lambda_0\right) \mid d_{r+1}(\lambda), \quad\left(\lambda-\lambda_0\right) \nmid d_r(\lambda) .
$$
（浙江大学，2010 年）设 $a, b$ 是任意两个复数，求 $n$ 阶上三角矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
a & b & \cdots & b & b \\
0 & a & \cdots & b & b \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a & b \\
0 & 0 & \cdots & 0 & a
\end{array}\right)
$$
的最小多项式和 Jordan 标准形．
求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式与 Jordan 标准形，其中
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lllll}
a & 0 & 1 & & \\
& a & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & 1 \\
& & & \ddots & 0 \\
& & & & a
\end{array}\right) .
$$
（南京大学，2002 年）设 $A=e e^T$ ，其中 $e$ 是每个分量都为 1 的 $n$ 维列向量，试求：
（1） $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式及最小多项式；
（2） $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值及与之对应的特征向量．
（上海交通大学，2002 年）设 $f(x)$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式，$g(x)$ 为任一多项式，有 $(f(x), g(x))=d(x)$ 。证明： $\operatorname{rank}(g(\boldsymbol{A}))=\operatorname{rank}(d(\boldsymbol{A}))$ 。
（中国科学技术大学，1998年）证明：复方阵 $\boldsymbol{A}$ 的最小多项式与特征多项式相等的充分必要条件是： $\boldsymbol{A}$ 的特征子空间都是一维的。
（南开大学，2003 年；重庆大学，2008 年）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3$ 下的矩阵为
438 第7章 Jordan标准形
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 6 & -15 \\
1 & 3 & -5 \\
1 & 2 & -4
\end{array}\right)
$$
问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为
$$
B=\left(\begin{array}{rcc}
1 & -3 & 3 \\
-2 & -6 & 13 \\
-1 & -4 & 8
\end{array}\right),
$$
为什么？
（东南大学，2005 年）设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & a & b \\ 0 & c & d \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ d & 1 & c\end{array}\right)$ ．问：当参数 $a$ ， $b, c, d$ 满足什么条件时，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是相似的？
（浙江大学，2019 年；重庆大学，2006 年）设 $n$ 阶复方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为 1 ，证明：对任意正整数 $k$ ，有 $\boldsymbol{A}^k$ 相似于 $\boldsymbol{A}$ ．
（中国科学技术大学，2008 年）设实方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 相似且相合，问 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是否一定正交相似？请证明你的结论。
（中国科学院，2006 年）设 $f$ 是有限维向量空间 $V$ 上的线性变换，且 $f^n$ 是 $V$上的恒同变换，这里 $n$ 是某个正整数．设 $W=\{v \in V \mid f(v)=v\}$ ．证明 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，并且其维数等于线性变换 $\frac{f+f^2+\cdots+f^n}{n}$ 的迹．
（华东师范大学，2006 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7$ ，求 $f(\boldsymbol{A})$ ．
（南开大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，试求 $\boldsymbol{A}^n$ ，其中 $n$ 为正整数．
（武汉大学，2013 年）设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 的全部特征值，但 $-\lambda_i(i=1,2, \cdots, n)$ 不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．定义 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的线性变换
$$
\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}, \quad \forall \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$
证明：（1）$\sigma$ 是可逆线性变换；
（2）对任意实对称矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，必存在唯一的实对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}$ ．
（浙江大学，2009 年；重庆大学，2010 年；华中师范大学，2014 年）设 $A$ 是 $n$阶复方阵， 0 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 重特征值．证明： $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}^k=n-k$ ．
（武汉大学，2005年）设 $\boldsymbol{A} \in M_n(K), \lambda_0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 重特征值，且 $\operatorname{rank}\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\right. \boldsymbol{A})=n-1$ ．
（1）求使 $\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)^m=\boldsymbol{O}$ 的最小正整数 $m$ ；
（2）证明：$\left(\lambda_0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right)^{n-1}$ 中必存在一个列向量是 $\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_0$ 的特征向量．
（浙江大学，2005 年）设 $A$ 是复数域上的方阵，证明：
（1） $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为零的充分必要条件是存在正整数 $m$ ，使 $\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{O}$ ；
（2）若存在正整数 $m$ ，使 $\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{O}$ ，则 $\operatorname{det}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=1$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 表示与 $\boldsymbol{A}$ 同阶的单位矩阵．
（南京大学，2010 年；北京师范大学，1997 年）设 $A$ 为任意复方阵．证明：存在可与对角矩阵相似的方阵 $\boldsymbol{S}$ 以及幂零方阵 $\boldsymbol{N}$ 使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{S}+\boldsymbol{N}$ 并且 $\boldsymbol{S} \boldsymbol{N}=\boldsymbol{N} \boldsymbol{S}$ ．
（苏州大学，2015 年）设 $\varphi$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换．证明： $\varphi$ 可对角化的充分必要条件是对 $\varphi$ 的每一个特征值 $\lambda_0$ 都有
$$
\operatorname{Im}\left(\varphi-\lambda_0 \varepsilon\right) \cap \operatorname{ker}\left(\varphi-\lambda_0 \varepsilon\right)=\{\mathbf{0}\}
$$
这里，$\varepsilon$ 表示恒等变换．