单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
如图, 在等边 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 是 $B C$ 边的三等分点, 连接 $P C, P D$ 设 $B P=x$, 图①中 $P D, P C$ 其中一条线段的长为 $y$. 运动过程中 $y$ 与 $x$ 函数关系的图象如图②所示, 则 $A D$ 长为
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\sqrt{6}$
$\text{C.}$ $\sqrt{7}$
$\text{D.}$ $\sqrt{12}$
一次函数 $y=k x+b$ 中， $k < 0 ， b>0$ ，那么它的图象不经过
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
若实数 $a ， b ， c$ 满足 $a+b+c=0$ ，且 $a < b < c$ ，则函数 $y=c x+a$的图象可能是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
函数 $\mathrm{y}=\left(\mathrm{m}^2-1\right) \mathrm{x}^2-(3 \mathrm{~m}-1) \mathrm{x}+2$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴的交点情况是
$\text{A.}$ 当 $\mathrm{m} \neq 3$ 时, 图像有一个交点
$\text{B.}$ $m \neq \pm 1$ 时, 肯定有两个交点
$\text{C.}$ 当 $m= \pm 1$ 时, 只有一个交点
$\text{D.}$ 图像可能与 $\mathrm{x}$ 轴没有交点
数轴上, $\mathrm{A}$ 点表示 -1 , 现在 A 开始移动, 先向左移动 3 个单位, 再向右移动 9 个单位, 又向左移动 5 个单位, 这时,$\mathrm{A}$ 点表示的数是
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 8
若 $\mathrm{A}(a, \mathrm{~b}) 、 \mathrm{~B}(a-1, \mathrm{c})$ 是函数 $y=-\frac{1}{x}$ 的图象上的两点, 且 $a < 0$, 则 $\mathrm{b}$ 与 $\mathrm{c}$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $b < c$
$\text{B.}$ $b>c$
$\text{C.}$ $b=c$
$\text{D.}$ 无法判断
如图, 已知点 $\mathrm{A}$ 是函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 与 $\mathrm{y}=\frac{4}{x}$ 的图象在第一象限内的交点, 点 $\mathrm{B}$ 在 $\mathrm{x}$ 轴负半轴上,且 $O A=0 B$, 则 $\triangle A O B$ 的面积为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 4
如图, 直线 $y=k x(k>0)$ 与双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 交于 $A 、 B$ 两点, $B C \perp x$ 轴于 $C$, 连接 $A C$ 交 $y$轴于 $D$, 下列结论: (1) $A 、 B$ 关于原点对称; (2) $\triangle A B C$ 的面积为定值; (3) $D$ 是 $A C$ 的中点; (4) $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{AOD}}=\frac{1}{2}$. 其中正确结论的个数为
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象如右图，则点 $M\left(b, \frac{c}{a}\right)$ 在
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
下列函数中，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的是
$\text{A.}$ $y=6 x$
$\text{B.}$ $y=-6 x$
$\text{C.}$ $y=\frac{6}{x}$
$\text{D.}$ $y=-\frac{6}{x}$
关于二次函数 $y=a(x-1)(x-3)+2(a < 0)$ 的下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ 无论 $a$ 取范围内的何值，该二次函数的图象都经过 $(1,0)$ 和 $(3,0)$ 这两个定点
$\text{B.}$ 当 $x=2$ 时，该二次函数取到最小值
$\text{C.}$ 将该二次函数的图象向左平移 1 个单位，则当 $x < 0$ 或 $x>2$ 时， $y < 2$
$\text{D.}$ 设该二次函数与 $x$ 轴的两个交点的横坐标分别为 $m ， n(m < n) ，$ 则 $1 < m < n < 3$
实数 $a, b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示, 下列结论中正确的是
$\text{A.}$ $a < -2$
$\text{B.}$ $b < 1$
$\text{C.}$ $a>b$
$\text{D.}$ $-a>b$
如图.拖物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$, 对称轴为 $x=1$, 与 $x$ 轴的另一个交点为 $B, C$ 为抛物线的顶点. 下列结论： (1) $a b c < 0$;(2) $4 a+2 b+c>0$; (3) $a+b>0$ （4) $c < 4 b$; (5) 若 $\triangle A B C$ 是等罗直角三角形, 则 $a=-\frac{1}{3}$. 其中结论正确的个数有
$\text{A.}$ 2 个
$\text{B.}$ 3 个
$\text{C.}$ 4 个
$\text{D.}$ 5个
如图，在平面直角坐标系中， $D(4,-2)$ ，将Rt $\triangle O C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 到 $\triangle O A B$ 位置，则点 $\mathrm{B}$ 坐标为
$\text{A.}$ $(2,4)$
$\text{B.}$ $(4,2)$
$\text{C.}$ $(-4,-2)$
$\text{D.}$ $(-2,4)$
直线 $y=-3 x+1$ 不经过第 $(\quad)$ 象限.
$\text{A.}$ 一
$\text{B.}$ 二
$\text{C.}$ 三
$\text{D.}$ 四
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
直线 $y=-x+b$ 与双曲线 $y=-\frac{1}{x}(x < 0)$ 交于点 $A$, 与 $x$ 轴交于点 $B$, 则 $O A^2-$ $\mathrm{OB}^2=$
如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过矩形 $A B C D$ 对角线的交点 $E$ 和点 $A$, 点 $B, C$ 在 $x$ 轴上, $\triangle O C E$ 的面积为 6 ,则 $k=$
正比例函数 $y=k x$ 的图象经过点 $(1,-2)$, 则 $k$ 的值是
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算: $(\pi-1)^{0}+4 \sin 45^{\circ}-\sqrt{8}+|-3|$.
已知, 一次函数 $y_1=x+4, y_2=-x^2+2 x, P$ 为 $y_2$ 上一动点, 求 $P$ 到 $y_1$ 的距离的最小值。
在平面直角坐标系中, 对于平面内任一点 $(a, b)$, 若规定以下两种变换: (1) $f(a, b)=(b, a)$,
如: $f(1,3)=(3,1)$; (2) $g(a, b)=(a,-b)$, 如: $g(1,3)=(1,-3)$; 那么 $f(g(5,-6))=$
如图, 一次函数 $y_1=k x+b$ 与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}$ 的图象交于 $A(1,4), B(4, n)$ 两点.
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式;
(2) 点 $P$ 为 $x$ 轴上一动点, 试确定点 $P$ 并求出它的坐标, 使 $P A+P B$ 最小;
(3)利用函数图象直接写出关于 $x$ 的不等式 $\frac{m}{x} < k x+b$ 的解集.
如图, 在平面直角坐标系中, 已知抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与直线 $A B$ 相交于 $A, B$ 两点, 其中 $A(-3,-$ 4), $B(0,-1)$.
(1) 求该抛物线的函数表达式.
(2) 点 $P$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上的任意一点, 连接 $P A, P B$, 求 $\triangle P A B$ 面积的最大值.
(3) 在二次函数的对称轴上找一点 $C$, 使得 $\triangle A B C$ 是等腰三角形, 求满足条件的点 $C$ 的坐标.
已知直线 $y=k x+b$ 与直线 $y=-2 x$ 平行，且在 $\mathrm{y}$ 轴上的截距为 2 ，则直线的解析式为
如图, 已知一次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{k}_1 \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 的图象与反比例函数 $\mathrm{y}=\frac{k_2}{x}$ 的图象交于 $\mathrm{A}(1,-3)$, $B(3, m)$ 两点, 连接 $O A 、 O B$.
(1) 求两个函数的解析式; (2) 求 $\triangle A O B$ 的面积.
为预防甲型 H1N1 流感, 某校对教室喷酒药物进行消毒. 已知喷酒药物时每立方米空气中的含药量 $\mathrm{y}$ (毫克) 与时间 $\mathrm{x}$ (分钟) 成正比, 药物喷酒完后, $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 成反比例 (如图所示). 现测得 10 分钟喷酒完后, 空气中每立方米的含药量为 8 毫克.
(1) 求喷酒药物时和喷酒完后, $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的函数关系式;
(2) 若空气中每立方米的含药量低于 2 毫克学生方可进教室, 问消毒开始后至少要经过多少分钟, 学生才能回到教室?
(3) 如果空气中每立方米的含药量不低于 4 毫克, 且持续时间不低于 10 分钟时, 才能杀灭流感病毒, 那么此次消毒是否有效? 为什么?
在平面直角坐标系中, 点 $P(a, b), Q(c, d)$ 给出如下定义：对于实数 $k(k \neq 0)$, 我们称点 $M(k a$ $+k c, k b+k d)$ 为 $P, Q$ 两点的“ $k$ ” 系和点. 例如, 点 $P(3,4), Q(1,-2)$, 则点 $P, Q$ 的“$\frac{1}{2}$”系和点的坐标为: $(2,1)$.
(1) 如图, 已知点 $A(4,-1), B(-2,-1)$.
①直接写出点 $A, B$ 的 “ $-\frac{1}{2}$ ”系和点坐标为
②若点 $A$ 为 $B, C$ 的 “ -3 ”系和点, 求点 $C$ 的坐标;
( 2 ) 已知点 $P(1-a,-2 m), Q(b,-2 m), P$ 在第四象限, 直线 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $E$, 点 $M(5 m+2,-4 m)$ 是 $P, Q$ 的“ 1 ”系和点, 将线段 $P Q$ 平移到 $M N$ ( $P$ 与 $M$ 对应, $Q$ 与 $N$ 对应 ), 且 $N(4 m+2, n)$, 直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $F, G$ 为 $x$ 轴正半轴上一点, 且 $S_{\triangle G E F}=4 m^2+2 m$. 问: 是否存在 $m$, 使得 $S_{\triangle E G N}=3 S_{\triangle P G N}$, 若存在, 求出 $m$ 的值, 若不存在, 说明理由.
如图, 直线 $y=\frac{\sqrt{5}}{2} x+\sqrt{5}$ 与 $x$ 轴, $y$ 轴分别交于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, 抛物线的顶点 $P$ 在直线 $\mathrm{AB}$ 上, 与 $x$ 轴的交点为 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$, 其中点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$. 直线 $\mathrm{BC}$ 与直线 PD 相交于点 $E$.
(1) 如图 2, 若抛物线经过原点 $O$.
①求该抛物线的函数表达式;
②求 $\frac{B E}{E C}$ 的值.
(2) 连结 $P C, \angle C P E$ 与 $\angle B A O$ 能否相等? 若能, 求符合条件的点 $P$ 的横坐标; 若不能, 试说明理由.
已知点 $A\left(m_1, n_1\right), B\left(m_2, n_2\right) \quad\left(m_1 < m_2\right)$ 在一次函数 $y=k x+b$ 的图象上.
(1) 用含有 $m_1 ， n_1 ， m_2 ， n_2$ 的代数式表示 $k$ 的值.
(2) 若 $m_1+m_2=3 b ， n_1+n_2=k b+4 ， b>2$. 试比较 $n_1$ 和 $n_2$ 的大小，并说明理由.
在坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A ， B$ 在 $x$ 轴上， $C(2,-3) ， D(-1,-3)$. 抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a>0)$ 与 $x$ 轴交于点 $E(-2,0)$ 和点 $F$.
(1)如图1，若抛物线过点 $C$ ，求抛物线的表达式和点 $F$ 的坐标.
(2)如图2，在 (1) 的条件下，连接 $C F$ ，作直线 $C E$ ，平移线段 $C F$ ，使点 $C$ 的对应点 $P$ 落在直线 $C E$ 上，点 $F$ 的对应点 $Q$ 落在抛物线上，求点 $Q$ 的坐标.
(3) 若抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a>0)$ 与正方形 $A B C D$ 恰有两个交点，直接写出 $a$ 的取值范围.
平面直角坐标系中，抛物线 $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} x^2+a x+b(a$ ，均为常数）与 $\mathrm{y}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}$ ，与 $x$ 轴相交于 $\mathrm{B}(-3 \sqrt{3}, 0), C(\sqrt{3}, 0)$ 两点，连接 $A B ，$ 过点 $C$ 作 $C D // A B$ 交抛物线于点 $D$.
(1) 求出该抛物线的函数表达式及点 $\mathrm{D}$ 的坐标;
(2) 如图1，已知点 $G$ 是线段 $A B$ 上方抛物线上一点，过点 $G$ 作 $G P \| y$ 轴交 $C D 于 P$ ，在线段 $A C$ 和线段 $C D$ 上分别有两个动点 $K 、 L$ ，且满足 $K L=2 ， M$ 是 $K L$ 的中点，当 $G P+D P$ 取得最大值时，在线段 $A B$ 上是否存在一点 $R$ ，使得 $R P+R M$ 的值最小? 若存在，请求出 $P$点的坐标以及 $R P+R M$ 的最小值; 若不存在，请说明理由.
(3) 如图2， $E$ 是线段 $B O$ 上一定点，且满足 $O E: O B=4 \sqrt{3}: 9$ ，连接 $A E$ ，将线段AE沿 $y$ 轴向下平移 6 个单位至 $H F$ ，连接 $E F ， T$是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，应对点分别是 $A^{\prime} 、 H^{\prime}$ 。在旋转过程中，当 $\Delta E A^{\prime} H^{\prime}$ 是直角三角形时，请直接写出此时A'的坐标.
如图，直线 $y=\frac{3}{4} x+3$ 与 $x$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴分别交于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点，抛物线 $y=\frac{3}{4} x^2+b x+c$ 经过 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 $\mathrm{D}$ 是抛物线在第二象限内的点，过点 $\mathrm{D}$ 作 $x$ 轴的平行线与直线 $\mathrm{AB}$ 交于点 $\mathrm{C}$ ，求 $\mathrm{DC}$ 的长的最大值;
(3) 点 $Q$ 是线段 $A O$ 上的动点，点 $P$ 是抛物线在第一象限内的动点，连结 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $N$. 是否存在点 $P$ ，使 $\triangle A B Q$ 与 $\triangle B Q N$ 相似，若存在，求出点P的坐标; 若不存在，说明理由.
如图, 抛物线 $y=-\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B(1,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C(0,2)$,连接 $A C$.
（1）求该抛物线的函数表达式及点 $A$ 的坐标;
( 2 ) 求 $D$ 抛是 $x$ 线轴上方抛物线上的动点, 过点 $D$ 作 $D E \perp x$ 轴于点 $E$, 是否存在点 $D$, 使得以 $B 、 D 、 E$ 为顶点的三角形与 $\triangle A O C$ 相似 (含全等)？若存在, 求出点 $D$ 的坐标；若不存在, 请说明理由.
阅读材料: “三等分角” 是数学史上一个著名问题. 今天人们已经知道, 仅用圆规和直尺是不可能作出的. 在研究这个问题的过程中, 数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法, 如图1, 步骤如下:
(1)建立直角坐标系, 将已知锐角 $\angle A O B$ 的顶点与原点 $O$ 重合, 角的一边 $O B$ 与 $x$ 轴正方向重合；
(2)在直角坐标系中, 绘制函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象, 图象与已知角的另一边 $O A$ 交于点 $P$;
(3)以 $P$ 为圆心、以 $2 O P$ 为半径作弧, 交函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象于点 $R$;
(4)分别过点 $P$ 和 $R$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线, 分别交于点 $M$, 点 $Q$;
(5)连接 $O M$, 得到 $\angle M O B$. 则 $\angle M O B=\frac{1}{3} \angle A O B$.
思考问题:
（1）设 $P\left(a, \frac{1}{a}\right), R\left(b, \frac{1}{b}\right)$, 求直线 $O M$ 的函数解析式 (用含 $a, b$ 的代数式表示)，并说明 $Q$ 点在直线 $O M$ 上；
(2) 证明: $\angle M O B=\frac{1}{3} \angle A O B$.
(3) 如图 2 , 若直线 $y=x$ 与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x \neq 0)$ 交于点 $C, D$ 为反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x \neq 0)$ 第一象限上的一个动点, 使得 $\angle C O D=3$ $0^{\circ}$. 求用材料中的方法求出满足条件 $D$ 点坐标.
如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象与过原点的直线交于 $A(3,1), B$ 两点, $C(0,3)$ 为 $y$ 轴上一点, 连接 $A C, B C$.
(1) 请判断 $A C$ 的中点 $D$ 是否在该反比例函数的图象上.
(2) 在 (1) 的条件下, 连接 $B D$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $P$, 求点 $P$ 的坐标.
如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+3$ 交 $x$ 轴于 $A, B(1,0)$ 两点, 交 $y$ 轴于点 $C$, 直线 $y=m x+n$ 经过 $B, D(-4,-5)$ 两点,点 $D$ 在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2) 点 $P$ 为直线 $B D$ 上方抛物线上一个动点 (不与点 $B, D$ 重合), 过点 $P$ 作 $P F \perp x$ 轴于点 $F$, 交直线 $B D$ 于点 $Q$.
(1)求 $P Q$ 的最大值;
(2)记抛物线上点 $C$ 与点 $P$ 之间的部分 (包含端点) 为图象 $G$, 当图象 $G$ 对应函数的最大值与最小值的差为 1 时, 请直接写出点 $P$ 的横坐标 $x_P$ 的取值范围.
甲、乙两地相距 480 千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地 (两车行驶过程中速度均保持不变).如图,折线 $A B C D$ 表示轿车离甲地的距离 $y$ (单位:千米)与时间 $x$ (单位:小时) 之间的函数关系,线段 $O E$ 表示货车离甲地的距离 $y$ (单位:千米)与时间 $x$ (单位:小时)之间的函数关系,请你根据图象信息,解答下列问题:
(1) 线段 $B C$ 表示轿车在途中停留了 $\qquad$小时, $a=$ $\qquad$ ;
(2) 求线段 $C D$ 对应的函数解析式;
(3) 轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车?
(4) 请你直接写出货车出发多长时间两车相距 30 千米(两车均在行驶).
如图,拋物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴相交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 在点 $B$ 的左侧), 顶点 $D(1,4)$ 在直线 $l : y=\frac{4}{3} x+t$ 上,动点 $P$ 在抛物线上.
（1）求这条抛物线对应的函数表达式，
(2) 直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $C$, 则点 $C$ 的坐标为 $\qquad$ '
(3) 设点 $P$ 的横坐标为 $m$, 当 $1 < m < 3$ 时, 求四边形 $D C B P$ 面积的最大值;
(4) 设直线 $A P, B P$ 与抛物线的对称轴分别相交于点 $E, F$, 点 $G$ 为点 $E$ 关于 $x$ 轴的对称点, 请探索四边形 $A F B G$ 的面积是否随着点 $P$ 的运动而发生变化? 若不变, 求出这个四边形的面积; 若变化,说明理由.
