单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
在同一平面直角坐标系中，函数 $y=a x$ 和 $y=x+a(a$ 为常数， $a < 0)$ 的图象可能是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
在平面直角坐标系中, 二次函数 $y=x^2+m x+m^2-m$ ( $m$ 为常数)的图像经过点 $(0,6)$ ，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有
$\text{A.}$ 最大值 5
$\text{B.}$ 最大值 $\frac{15}{4}$
$\text{C.}$ 最小值 5
$\text{D.}$ 最小值 $\frac{15}{4}$
在平面直角坐标系 $x-O-y$ 中画有函数 $y=x$ 和 $y=\frac{1}{x}$的图象以及以点 ( 1 , 1) 为圆心半径为 1 的圆, 如图 1 所示. 则图中两块阴影部分的面积之和为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{7 \pi}{8}$
如果关于 $x$ 的方程 $x^2+a x+1=0$ 和$x^2+x+a=0$ 有公共实根, 则 $a$ 等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -1
下列选项中, $\mathrm{y}$ 是 $\mathrm{x}$ 的反比例函数的是
$\text{A.}$ $y=\frac{3}{x^2}$
$\text{B.}$ $y=\frac{4 x}{5}$
$\text{C.}$ $y=-2 x^{-1}$
$\text{D.}$ $y=\frac{k}{x}$
下列二次函数中, 其图象的顶点坐标为 $(-3,-1)$ 的是
$\text{A.}$ $y=(x-3)^2+1$
$\text{B.}$ $y=(x+3)^2+1$
$\text{C.}$ $y=(x-3)^2-1$
$\text{D.}$ $y=(x+3)^2-1$
与点 $(2,-3)$ 在同一反比例函数图象上的点是
$\text{A.}$ $(-2,3)$
$\text{B.}$ $(-1,-6)$
$\text{C.}$ $(6,1)$
$\text{D.}$ $(-2,-3)$
二次函数 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的部分图象如图所示, 图象过点 $(-1,0)$, 对称轴为直线 $x$ $=2$, 下列结论: (1) $4 a+b=0$ ；(2) $8 a+7 b+2 c>0$ ；(3)若方程 $a(x+1) \quad(x-5)=-3$ 的两根为 $x_1$ 和 $x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 则 $x_1 < -1 < 5 < x_2$; (4) $\frac{4 a}{b}+\frac{b}{a}=-4$, 其中正确的结论有
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知点 $A$ 的坐标是 $(1,2)$, 那么它关于原点对称的点 $A^{\prime}$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(2,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(1,-2)$
$\text{D.}$ $(-1,-2)$
人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供. 如图是小南早餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图. 下列描述正确的是
$\text{A.}$ 从 9 时至 10 时血糖呈下降状态
$\text{B.}$ 10 时血糖最高
$\text{C.}$ 从 11 时至 12 时血糖呈上升状态
$\text{D.}$ 这段时间有 3 个时刻血糖浓度达到 $7.0 \mathrm{mmol} \cdot \mathrm{L}^{-1}$
已知点 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 都在反比例函数 $y=\frac{1+k^2}{x}$ 的图象上, 如果 $x_1 < x_2$, 那么 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $y_1 < y_2$
$\text{B.}$ $y_1=y_2$
$\text{C.}$ $y_1>y_2$
$\text{D.}$ 无法判断
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图, 在矩形 $O A B C$ 和正方形 $C D E F$ 中，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $C 、 F$ 均在 $x$ 轴正半轴上，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B C=2 C D, A B=3$. 若点 $B 、 E$ 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是
如图 4, 点 $P$ 是函数 $y=\frac{36}{x}(x>0)$ 的图象 $G$ 上的一点, 过点 $P$ 的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $A 、 B$ 两点. 过 $A$作 $x$ 轴的垂线, 交 $G$ 于点 $C$, 过 $B$ 作 $y$ 轴垂线, 交 $G$ 于点 $D, P A=$ $2 P B$, 这时四边形 $A C-DB$ 面积
二次函数 $y=-2(x-4)^2+8$ 的最大值为
如图, 反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上有一动点 $A$, 连接 $A O$ 并延长交图象的另一支于点 $B$, 在第二象限内有一点 $C$, 满足 $A C=B C$, 当点 $A$ 运动时, 点 $C$ 始终在函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上运动, $\tan \angle C A B=$ 2 , 则 $k=$
如图, 一次函数 $y_1=k_1 x+b$ 与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}(x>0)$ 的图象交于 $A(2,3), B(m, 1)$ 两点. 当 $y_1>y_2$ 时, $x$ 的取值范围是
已知抛物线 $y=a x^2+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq c)$, 且 $a-b+c=0$. 下列四个结论: (1)若 $b=-2 a$, 则抛物线经过点 $(3,0)$ ；(2)抛物线与 $x$ 轴一定有两个不同的公共点；(3)一元二次方程 $-a(x-2)^2+b x=2 b+c$ 有一个根 $x=3$ ； (4)点 $A\left(x_1, y\right.$ $1) 、 B\left(x_2, y_2\right)$ 在抛物线上, 若当 $x_1>x_2>2$ 时, 总有 $y_1>y_2$, 则 $5 a+c \leq 0$. 其中正确的是 ( 填写序号 ) 。
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 已知直线 $y=2 x+2$ 与抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 相交于 $A, B$ 两点, 点 $A$ 在 $x$ 轴上, 点 $B$ 在 $y$ 轴上, 点 $C(3,0)$ 在抛物线上.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 正方形 $O P D E$ 的顶点 $O$ 为直角坐标系原点, 顶点 $P$ 在线段 $O C$ 上, 顶点 $E$ 在 $y$ 轴正半轴上, 若 $\triangle A O B$ 与 $\triangle D P C$ 全等, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 在条件 (2) 下, 点 $Q$ 是线段 $C D$ 上的动点 (点 $Q$ 不与点 $D$ 重合), 将 $\triangle P O D$ 沿 $P Q$ 所在的直线翻折得到 $\triangle P O D^{\prime}$, 连接 $A D^{\prime}$, 求 $A D^{\prime}$ 长度的取值范围.
已知二次函数的解析式为 $y=-x^2+4 x$, 该二次函数交 $x$ 轴于 $O 、 B$ 两点, $A$ 为抛物线上一点, 且横纵坐标相等(原点除外), $P$ 为二次函数上一动点, 过 $P$ 作 $x$ 轴垂线, 垂足为 $D(a, 0)(a>0)$,并与直线 $O A$ 交于点 $C$.
(1)求 $A 、 B$ 两点的坐标;
(2)当点 $P$ 在线段 $O A$ 上方时，过 $P$ 作 $x$ 轴的平行线与线段 $O A$相交于点 $E$, 求 $\triangle P C E$ 周长的最大值及此时 $P$ 点的坐标;
(3)当 $P C=C O$ 时, 求 $P$ 点坐标.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 抛物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于
$A(-1,0), B(-3,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为 $D$, 点 $P$ 在抛物线的对称轴上, 且 $\angle A P D$ $=\angle A C B$, 求点 $P$ 的坐标;
(3)点 $Q$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的动点, 求点 $Q$ 到直线 $B C$的距离最大时点 $Q$ 的坐标.
如图, 抛物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0), B(5$, 0 )两点, 直线 $y=-\frac{3}{4} x+3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$, 与 $x$ 轴交于点 $D$.点 $P$ 是 $x$ 轴上方的抛物线上一动点, 过点 $P$ 作 $P F \perp x$ 轴于点 $F$, 交直线 $C D$ 于点 $E$. 设点 $P$ 的横坐标为 $m$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若 $P E=5 E F$, 求 $m$ 的值；
(3) 若点 $E^{\prime}$ 是点 $E$ 关于直线 $P C$ 的对称点, 是否存在点 $P$, 使点 $E^{\prime}$ 落在 $y$ 轴上? 若存在, 请直接写出相应的点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
如图, 过抛物线 $y=\frac{1}{4} x^2-2 x$ 上一点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线, 交抛物线于另一点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $C$, 已知点 $A$ 的横坐标为 -2 .
(1)求抛物线的对称轴和点 $\mathrm{B}$ 的坐标;
(2)在 $A B$ 上任取一点 $P$, 连接 $O P$, 作点 $C$ 关于直线 $O P$ 的对称点 $D$,
①连接 $B D$, 求 $B D$ 的最小值；
②当点 $D$ 落在抛物线的对称轴上, 且在 $x$ 轴上方时, 求直线 $P D$ 的函数表达式.
如图, 抛物线 $y=x^2+b x+c$ 过点 $A(3,0), B(1,0)$, 交 $y$ 轴于点 $C$, 点 $P$ 是该抛物线上一动点, 点 $P$ 从 $C$ 点沿抛物线向 $A$ 点运动(点 $P$ 不与点 $A$ 重合), 过点 $P$ 作 $P D / / y$ 轴交直线 $A C$于点 $D$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点 $P$ 在运动的过程中线段 $P D$ 长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点 $M$, 使 $|M A-M C|$ 最大? 若存在, 请求出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
如图①, 在平面直角坐标系中, 点 $O$ 为坐标原点, 抛物线 $y$ $=a x^2+b x+5$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、点 $B$, 与 $y$ 轴交于点 $C$. 直线 $y$ $=x+2$ 经过点 $A$, 交抛物线于点 $D, A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$, 连接 $C D$, 且 $C D / / x$ 轴.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，过点 $A$ 的直线交抛物线第四象限于点 $F$, 若 $\tan \angle$ $B A F=\frac{1}{2}$, 求点 $F$ 的坐标;
(3)在(2)的条件下, $P$ 为直线 $A F$ 上方抛物线上一点, 过点 $P$作 $P H \perp A F$, 垂足为 $H$, 若 $H E=P E$, 求点 $P$ 的坐标.
如图, 抛物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 与 $y$轴交于点 $C$, 点 $O$ 为坐标原点, 点 $D$ 为抛物线的顶点, 点 $E$在抛物线上, 点 $F$ 在 $x$ 轴上, 四边形 $O C E F$ 为矩形, 且 $O F=$ $2, E F=3$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接 $C B$ 交 $E F$ 于点 $M$, 连接 $A M$ 交 $O C$ 于点 $R$, 连接 $A C$,求 $\triangle A C R$ 的周长；
(3)设 $G(4,-5)$ 在该抛物线上, $P$ 是 $y$ 轴上一动点, 过点 $P$ 作 $P H \perp E F$ 于点 $H$, 连接 $A P, G H$, 问 $A P+P H+H G$ 是否有最小值? 如果有, 求出点 $P$ 的坐标; 如果没有, 请说明理由.
如图, $\triangle M C B$ 的顶点 $B 、 C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上,抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 经过点 $M, C, B$, 且点 $M$ 为抛物线的顶点, 点 $A(-1,0)$ 是抛物线与 $x$ 轴负半轴的交点, 若线段 $A B=6, \angle A B C=45^{\circ}$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 $D$ 为线段 $B M$ 上任意一点(点 $D$ 不与点 $B$ 重合), 过点 $D$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $x=t$, 交抛物线于点 $E$, 交线段 $B C$ 于点 $F$.
①求当 $t$ 为何值时，线段 $D E$ 有最大值? 最大值是多少?
②是否存在这样的点 $D$, 使得 $\frac{E D}{F D}=\frac{1}{2}$ ? 若存在, 求出 $D$ 点的坐标；若不存在, 请说明理由.
如图, 抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-3)^2-1$ 与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧), 与 $y$ 轴交于点 $C$, 顶点为 $D$.
(1)试求点 $A, B, D$ 的坐标；
(2)连接 $C D$, 过原点 $O$ 作 $O E \perp C D$ 与抛物线的对称轴交于点 $E$,求 $O E$ 的长;
(3)以(2)中的点 $E$ 为圆心, 1 为半径画圆, 在对称轴右侧的抛物线上有一动点 $P$, 过点 $P$ 作 $\odot O$ 的切线, 切点为 $Q$, 当 $P Q$的长最小时, 求点 $P$ 的坐标.
如图, 抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $C(0,4)$,与 $x$ 轴交于点 $A 、 B$, 点 $A$ 坐标为 $(4,0)$
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线的顶点为 $N$, 在 $x$ 轴上找一点 $K$, 使 $C K+K N$ 最小,并求出点 $K$ 的坐标;
(3)已知 $D$ 是 $O A$ 的中点, 点 $P$ 在第一象限的抛物线上, 过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线, 交直线 $A C$ 于点 $F$, 连接 $O F, D F$. 当 $O F$ $=D F$ 时，求点 $P$ 的坐标.
经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上 $1.3 \mathrm{~m}$ 处的直径)越大，树就越高. 通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高 $y(m)$ 是其胸径 $x(m)$ 的一次函数. 已知这种树的胸径为 $0.2 m$ 时，树高为 $20 m$; 这种树的胸径为 $0.28 m$ 时，树高为 $22 m$.
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式;
(2)当这种树的胸径为 0.3 时，其树高是多少?
某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门, 并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $48 \mathrm{~m}^2$, 还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素, 设计部门按要求给出了两个设计方案. 现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中, 如图所示:
方案一. 抛物线型拱门的跨度 $O N=12 m$ ，拱高 $P E=4 m$. 其中，点 $N$ 在 $x$ 轴上, $P E \perp O N, O E=E N$.
方案二. 抛物线型拱门的跨度 $O N^{\prime}=8 m$ ，拱高 $P^{\prime} E^{\prime}=6 m$. 其中，点 $N^{\prime}$ 在 $x$轴上, $P^{\prime} E^{\prime} \perp O N^{\prime}, O E^{\prime}=E^{\prime} N^{\prime}$.
要在拱门中设置高为 $3 m$ 的矩形框架, 其面积越大越好(框架的粗细忽略不计). 方案一中，矩形框架 $A B C D$ 的面积为 $S_1$ ，点 $A 、 D$ 在抛物线上,边 $B C$ 在 $O N$ 上; 方案二中, 矩形框架 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的面积为 $S_2$ ，点 $A^{\prime} 、 D^{\prime}$ 在抛物线上，边 $B^{\prime} C^{\prime}$ 在 $O N^{\prime}$上.
现知，小华已正确求出方案二中，当 $A^{\prime} B^{\prime}=3 m$ 时， $S_2=12 \sqrt{2} m^2$.
请你根据以上提供的相关信息, 解答下列问题:
(1)求方案一中抛物线的函数表达式;
(2)在方案一中，当 $A B=3 m$ 时，求矩形框架 $A B C D$ 的面积 $S_1$ ，并比较 $S_1 ， S_2$的大小.
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6 x+(2 m+1)=0$ 有实数根.
(1) 求 $m$ 的取值范围;
(2) 如果方程的两个实数根为 $x_1, x_2$, 且 $2 x_1 x_2+x_1+x_2 \geq 20$, 求 $m$ 的取值范围.
如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $y=2 x-2$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A(2, n)$, 在第三象限交于点 $B$, 过点 $B$ 作 $B C \perp x$ 轴于 $C$, 连接 $A C$.
(1) 求反比例函数的解析式;
(2) 求 $\triangle A B C$ 的面积;
(3) 根据图象直接写出不等式 $2 x-2 < \frac{k}{x}$ 的解集.
已知抛物线 $y=x^2+b x+c$ 经过点 $B$, 与 $y$ 轴交于点 $A$, 顶点 $P$ 在直线 $O B$ 上.
(1) 如图1, 若点 $B$ 的坐标为 $(3,6)$, 点 $P$ 的横坐标为 1 .
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当 $m \leq x \leq 4$ 时, $y=x^2+b x+c$ 的最小值为 2 , 最大值为 11 , 请求出 $m$ 的取值范围；
(3)已知: 点 $M$ 在抛物线上, 点 $N$ 的坐标为 $(2,3)$, 且 $\angle M N A=\angle B A N$, 请直接写出符合题意的点 $M$ 的坐标.
(2) 如图 2 , 若点 $P$ 在第一象限, 且 $P A=P O$, 过点 $P$ 作 $P D \perp x$ 轴于 $D$, 将抛物线 $y=x^2+b x+c$ 平移, 平移后的抛物线经过点 $A 、 D$,与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$, 试探究四边形 $O A B C$ 的形状, 并说明理由.
一次函数 $y=k x+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A(-1,4) 、 B(-4, n)$.
(1) 求反比例函数与一次函数的解析式;
(2) 求 $\triangle O A B$ 的面积;
(3) 直接写出不等式 $\frac{m}{x}>k x+b$ 的解集.
平面直角坐标系中, 已知抛物线的顶点为 $A(2,4)$, 且经过坐标原点.
(1) 求抛物线的函数解析式;
(2) 如图1, 设抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $B$, 点 $C$ 为抛物线上 $A, B$ 之间一点, 连接 $O A, O C$, 若 $\angle A O C=\angle A O y$, 求点 $C$ 的坐标；
( 3 ) 如图 2 , 若直线 $y=k x-2 k+5$ 与抛物线交于 $M, N$ 两点, 点 $N$ 关于抛物线对称轴的对称点为 $P$, 当 $k < 0$ 时, 试说明直线 $M P$ 过一定点 $Q$, 并求出点 $Q$ 的坐标.
如图 1 ,抛物线 $y_1=-x^2+c$ 的图象经过 $(1,3)$.
(1) 求 $c$ 的值及抛物线 $y_1$ 的顶点坐标;
(2) 当 $-3 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$ 时, 求 $y_1$ 的最大值与最小值的和;
(3) 如图 2, 将抛物线 $y_1$ 向右平移 $m$ 个单位 $(m>0)$, 再向上平移 $2 m$ 个单位得到新的抛物线 $y_2$,点 $N$ 为抛物线 $y_1$ 与 $y_2$ 的交点. 设点 $N$ 到 $x$ 轴的距离为 $n$, 求 $n$ 关于 $m$ 的函数关系式,并直接写出当 $n$ 随 $m$ 的增大而减小时, $m$ 的取值范围.
如图1, 抛物线 $C_1: y=\frac{1}{3} x^2+b x-4$ 与 $x$ 轴负半轴交于点 $A$, 与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 且 $\tan \angle C A B=$ 2 .
(1) 求 $b$ 的值;
( 2 ) $E$ 为第四象限抛物线上一点, $E D / / A C$ 交 $B C$ 于点 $D$. 若 $D E=\frac{1}{2} A C$, 求点 $E$ 的坐标；
( 3 ) 如图 2 , 平移抛物线 $C_1$ 得到抛物线 $C_2$, 使其顶点为 $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$, 直线 $y=\frac{2}{3} x+m$ 交抛物线 $C_2$ 于 $M, N$ 两点. 若 $O M+O N=9$,求 $m$ 的值.
如图, 正三角形的边长为 1 , 点 $C$ 与原点重合, 现将正三角形向右翻转 2023 次, 求点 $B$ 在数轴上对应的数字。
