解答题 （共 24 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
（武汉大学，2011 年）设在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的内积记为 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ ， $T$ 为 $V$ 的线性变换．对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V$ ，定义二元函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(T(\boldsymbol{\alpha}), T(\boldsymbol{\beta}))$ 。问 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是否为 $V$ 的内积？请阐述理由．
（北京大学，2005 年）设实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}$ 的 $(i, j)$ 元为 $\frac{1}{i+j-1}(n>1)$ ．在实数域上 $n$ 维线性空间 $\mathbb{R}^n$ 中，对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n$ ，令 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\beta}$ ．试问：$f$ 是不是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个内积？写出理由．
（北京交通大学，1999 年；湘潭大学，2005 年）已知 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的 $n+1$个向量 $\boldsymbol{\alpha}_0, \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 的两两间距离均为 $\delta>0$ ，令 $\boldsymbol{\beta}_i=\boldsymbol{\alpha}_i-\boldsymbol{\alpha}_0, i=1,2, \cdots, n$ ．求证：
（1）$\left(\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\beta}_j\right)=\frac{1}{2} \delta^2$ ，其中 $i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n$ ；
（2）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 线性无关．
设 $V_1, V_2$ 是4 维欧氏空间 $\mathbb{R}^4$ 的两个线性子空间，其中 $V_1$ 是由向量
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1,-2), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,-1,0), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,0,-1)
$$
生成的子空间，$V_2$ 是由向量
$$
\boldsymbol{\beta}_1=(0,-2,2,-2), \boldsymbol{\beta}_2=(-1,3,0,4), \boldsymbol{\beta}_3=(1,5,0,2), \boldsymbol{\beta}_4=(-1,1,2,2)
$$
生成的子空间，求 $V_1$ 与 $V_2$ 的和空间的正交补．
（曲阜师范大学，2008年）设 $w_1, w_2, w_3$ 是欧氏空间 $V$ 中两两正交的向量，$V$中的向量 $v$ 不能由 $w_1, w_2, w_3$ 线性表示．设 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ 分别为 $v$ 与 $w_1, w_2, w_3$ 的夹角，证明： $\cos ^2 \theta_1+\cos ^2 \theta_2+\cos ^2 \theta_3 < 1$ ．
（上海交通大学，1997 年；四川大学，2002 年）已知线性无关向量组 $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_s$ 和两个非零正交向量组 $\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2, \cdots, \boldsymbol{f}_s ; \boldsymbol{g}_1, \boldsymbol{g}_2, \cdots, \boldsymbol{g}_s$ ，使 $\boldsymbol{f}_k$ 与 $\boldsymbol{g}_k(k=1,2, \cdots, s)$ 可由 $\boldsymbol{e}_1$ ， $e_2, \cdots, e_k$ 线性表出．求证：$g_k=a_k f_k\left(k=1,2, \cdots, s\right.$ ，其中 $\left.a_k \neq 0\right)$ ．
（浙江大学，2006 年）证明如下（I）和（II）是等价的：
（I）方阵 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵；
（II）实方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式等于 $\pm 1$ ，并且当 $|\boldsymbol{A}|=1$ 时， $\boldsymbol{A}$ 的每一个元素等于该元素的代数余子式，当 $|\boldsymbol{A}|=-1$ 时， $\boldsymbol{A}$ 的每一个元素等于该元素的代数余子式乘－1．
（中国科学院大学，2013 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶正交矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可以写成 $\boldsymbol{C R}$ ，其中 $\boldsymbol{C}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的旋转变换， $\boldsymbol{R}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 的恒等变换或对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的镜面反射变换．
（武汉大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2+q \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，这里 $q=a^2+b^2+c^2, \boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵。问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是正交矩阵？
（华南理工大学，2008 年；北京邮电大学，2002 年）设 $A$ 是 $n$ 阶实可逆矩阵。证明：存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和主对角元全为正实数的上三角矩阵 $\boldsymbol{R}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q R}$ ，并且这个表达式是唯一的。
（兰州大学，2009 年；华南理工大学，2005 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正交矩阵，其特征值均为实数．证明： $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵．
（北京师范大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是实反对称矩阵．证明：
（1） $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为纯虚数；
（2）若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}^{-1}\right)\left(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ 是正交矩阵．
（上海交通大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵， $\boldsymbol{B}=\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots\right.$ ， $\left.a_n\right)$ ，其中 $a_i>0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|>0$ ．
（南开大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，证明：
（1） $\operatorname{det} \boldsymbol{A} \geqslant 0$ ；
（2）如果 $\boldsymbol{A}$ 的元素全为整数，那么 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}$ 必为某个整数的平方．
（武汉大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵， $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}= \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ ．求证：
$$
\operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\
-\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}} & 0
\end{array}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol{A} .
$$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个基，求证：对任意一组实数 $b_1$ ， $b_2, \cdots, b_n$ ，在 $V$ 中有且仅有一个向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，使得 $\left(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_i\right)=b_i, i=1,2, \cdots, n$ ．
设线性无关向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 经 Schmidt 方法化成正交向量组 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ ，证明：两向量组的 Gram 矩阵的行列式都等于 $\left|\boldsymbol{\beta}_1\right|^2\left|\boldsymbol{\beta}_2\right|^2 \cdots\left|\boldsymbol{\beta}_m\right|^2$ ，即
$$
\left|\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)\right|=\left|\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m\right)\right|=\left|\boldsymbol{\beta}_1\right|^2\left|\boldsymbol{\beta}_2\right|^2 \cdots\left|\boldsymbol{\beta}_m\right|^2 .
$$
（四川大学，2011 年）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的内积为 $(\cdot, \cdot)$ ．
（1）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $V$ 中的一个线性无关组．证明：$V$ 中存在两两正交的 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2 \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$使对任意 $1 \leqslant k \leqslant s$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_k$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_k$ 等价；
（2）设 $\boldsymbol{\gamma}_i \in V(1 \leqslant i \leqslant t)$ ．
证明： $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_t$ 线性无关的充分必要条件是
$$
\left(\begin{array}{ccc}
\left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_1\right) & \cdots & \left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_t\right) \\
\vdots & & \vdots \\
\left(\boldsymbol{\gamma}_t, \boldsymbol{\gamma}_1\right) & \cdots & \left(\boldsymbol{\gamma}_t, \boldsymbol{\gamma}_t\right)
\end{array}\right)
$$
为正定矩阵．（中国科学技术大学，2011年）
设 $\varphi$ 是欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\varphi^*$ 是 $\varphi$ 的共轭变换．证明：
（1）$\varphi$ 是正规变换当且仅当 $\left(\varphi^*(\boldsymbol{\alpha}), \varphi^*(\boldsymbol{\beta})\right)=(\varphi(\boldsymbol{\alpha}), \varphi(\boldsymbol{\beta})), \forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V$ ；
（2）若 $\varphi$ 是正规变换， $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\varphi$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 也是 $\varphi^*$ 的属于特征值 $\bar{\lambda}$ 的特征向量．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实方阵，证明：存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值全为实数且 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$（其中 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵）．
（中山大学，2010 年）设 $\sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个正规变换，且满足条件：$\sigma^2+\mathrm{id}_V=0$ ．证明：对任意 $x \in V$ ，有 $|x|=|\sigma(x)|=\left|\sigma^*(x)\right|$ ．（ $\sigma^*$ 表示 $\sigma$ 的伴随变换， $|\boldsymbol{x}|$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 的长度．）
欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的非零向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ 称为正（负）向量，如果 $\boldsymbol{\alpha}$ 的第一个非零分量是正（负）数．证明：如果 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_p$ 都是 $\mathbb{R}^n$ 中的正向量，且 $i \neq j$ 时，$\left(\boldsymbol{\alpha}_i\right.$ ， $\left.\boldsymbol{\alpha}_j\right) \leqslant 0$ ，那么 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_p$ 线性无关。
（北京大学，2012 年）已知 $\mathbb{R}^3$ 中的正交变换
$$
\left(\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{11}{15} & \frac{2}{15} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{15} & \frac{14}{15} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)
$$
是旋转变换，试求旋转轴的方向向量以及旋转角．
（南京大学，2009 年）设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的两个非零列向量．求证： $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}>0$ 的充分必要条件是存在正定矩阵 $\boldsymbol{A}$ 使得 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ ．