单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，下列命题中正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ ．
$\text{B.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\end{array}\right)$ 是三阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b_{12} & 2 b_{11} & -3 b_{13} \\ b_{22} & 2 b_{21} & -3 b_{23} \\ b_{32} & 2 b_{31} & -3 b_{33}\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵，令 $\boldsymbol{P}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), \boldsymbol{P}_2=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_1^{2022} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_2^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
设 $n$ 维列向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 以及常数 $k, l, m$ 满足 $k \alpha+l \beta+m \gamma=0$ ，且 $k m \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $\alpha, \beta$ 与 $\alpha, \gamma$ 等价．
$\text{B.}$ $\alpha, \beta$ 与 $\beta, \gamma$ 等价．
$\text{C.}$ $\alpha, \gamma$ 与 $\beta, \gamma$ 等价．
$\text{D.}$ $\alpha$ 与 $\gamma$ 等价．
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，$\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，记 $\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) A$ ， $\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right)=\left(\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right) \boldsymbol{B}$ ，其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为3阶矩阵，则
$\text{A.}$ 存在 $\boldsymbol{A}$ ，使 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关．
$\text{B.}$ 不存在 $\boldsymbol{A}$ ，使 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 线性相关．
$\text{C.}$ 存在 $\boldsymbol{B}$ ，使 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 线性无关．
$\text{D.}$ 不存在 $\boldsymbol{B}$ ，使 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 线性相关．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 3$ 的矩阵，非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 有 3 个线性无关的解 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ， $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数．则下列表达式中为 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 通解的有 $\qquad$个：
（1）$\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}+k_1\left(\alpha_1-\alpha_2\right)$
（2）$\frac{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3}{3}+k_1\left(\alpha_1-\alpha_2\right)+k_2\left(\alpha_2-\alpha_3\right)$
（3）$\alpha_3+k_1\left(\alpha_1-\alpha_3\right)+k_2\left(\alpha_2-\alpha_3\right)$
（4）$\alpha_1+k_1\left(\alpha_1+\alpha_3-2 \alpha_2\right)+k_2\left(\alpha_2-\alpha_3\right)$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
设 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 3 & a & 4 \\ 4 & 5 & a\end{array}\right)(a>0), \boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{O}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为
$\text{A.}$ $k_1(1,2,-1)^{\mathrm{T}}+k_2(3,3,4)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{B.}$ $k_1(1,2,-1)^{\mathrm{T}}+k_2(4,5,-1)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{C.}$ $k_1(1,3,4)^{\mathrm{T}}+k_2(2,3,5)^{\mathrm{T}}$ ．
$\text{D.}$ $k_1(1,3,4)^{\mathrm{T}}+k_2(-1,4,3)^{\mathrm{T}}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$ 的基础解系含线性无关解向量个数为
$\text{A.}$ 0 个．
$\text{B.}$ 1 个．
$\text{C.}$ 2 个．
$\text{D.}$ 3 个．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为 $2,2,3$ ．已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是相应于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量，$\alpha_3$ 是相应于 $\lambda=3$ 的特征向量．若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 不能是
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1, 2 \alpha_2, \alpha_3\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\alpha_2, \alpha_1,-\alpha_3\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, 2 \alpha_2, \alpha_3\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(3 \alpha_3, 2 \alpha_2, \alpha_1\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，又 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$ ，则 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=$
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 4 ．
$\text{D.}$ 8 ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{-1} \sim \boldsymbol{B}^{-1}$ ，则下列结果
（1） $\boldsymbol{A B} \sim \boldsymbol{B A}$
（2） $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$
（3）$A^{2022} \sim B^{2022}$
（4） $\boldsymbol{A}^* \sim \boldsymbol{B}^*$
正确的个数为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=x_1^2+2 x_1 x_2-x_2^2+4 x_2 x_3-x_3^2-2 x_3 x_4+a x_4^2$ ，其中 $a>\sqrt{2}$ ，则该二次型的符号差为
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3 ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{A}^2+3 \boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的秩为
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3 ．
设 $\alpha, \beta$ 是 3 维单位正交列向量，则二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\alpha \alpha^{\mathrm{T}}+2 \beta \beta^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$ ．
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$\alpha, \beta$ 为 $n$ 维行向量，$a, b, c$ 为常数．已知 $|\boldsymbol{A}|=a,\left|\begin{array}{cc}b & \alpha \\ \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}c & \alpha \\ \beta^{\mathrm{T}} & A\end{array}\right|=$ $\qquad$
设 $\boldsymbol{B}$ 是 3 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol{B}| < 0, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}|=6$ ，则 $\left|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*, \boldsymbol{B}^*$ 分别是 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=1,|\boldsymbol{B}|=2$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为 $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶非零矩阵， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ，又 $\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}$ 不可逆，则 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=$ $\qquad$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=1, \lambda=1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量是 $\alpha_1=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}$ ，则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}_{n \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，其中 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，余子式 $M_{1 n} \neq 0$ ，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\qquad$ ．
若可逆矩阵满足 $\boldsymbol{D}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{D}=$ $\qquad$ ．
设 $\alpha=(1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \beta=(1, a, 2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，且 $\lambda=3$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $\lambda=3$ 的特征向量是 $\qquad$ ．
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_1^2+a x_3^2$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值范围为 $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，$\lambda_1=\lambda_2=3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的二重特征值，$\alpha_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,2)^{\mathrm{T}}$ 都是 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 3 的特征向量．又设二次型 $f(x)=x^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 的符号差为 2 ，则矩阵 $\boldsymbol{A}=$ $\qquad$ ．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}=a x_1^2+b x_2^2+a x_3^2+2 c x_1 x_3$ ，当 $a, b, c$ 满足
$\qquad$时， $\boldsymbol{Q}$ 为正定矩阵．
（数一）在 $R^3$ 中给定一组基 $\alpha_1=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知从 $R^3$ 的另一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 到 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵为 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求另一组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ ．
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 9 \\ 2 & 0 & 6 \\ -3 & 1 & -7\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为3阶非零矩阵，$\alpha_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$的解向量，且 $\boldsymbol{A x}=\alpha_3$ 有解．
（1）求常数 $a, b$ ．
（2）求 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解．
已知齐次线性方程组（I）有基础解系 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ．方程组
（II）是在方程组（I）的基础上添加了两个方程 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+2 x_2+2 x_4=0\end{array}\right.$ ，求方程组（II）的通解．
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-1 & 1 & a+1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量， $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $a$ 的值；
（2）求可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}$ 有三个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，它们对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ．令 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，
（1）证明：$\beta, A \beta, A^2 \beta$ 线性无关；
（2）若 $A^3 \beta=A \beta$ ，求 $r(A-E)$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵， $\boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{\sqrt{3}} & a & d \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & b & e \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & c & f\end{array}\right)$ 为正交矩阵．二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 经过
正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 化为 $-y_1^2+2 y_2^2+k y_3^2$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=-4$ ，求
（1）$k$ 的值；
（2）正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ；
（3）矩阵 $\boldsymbol{A}$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 -1 与 1 的特征向量，且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \alpha_3-\alpha_2=\mathbf{0}$ ．
（1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆；
（2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，其中 $\alpha_1, \alpha_2$ 分别是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应于特征值 -1 与 1 的特征向量，且 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \alpha_3-\alpha_2=\mathbf{0}$ ．
（1）证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆；
（2）计算 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{P}$ ．