单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
如图, 反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y_2=m x(m \neq 0)$ 的图象相交于 $A$, $B$ 两点, 点 $A$ 的横坐标为 -1 . 当 $y_1>y_2>0$ 时, $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $-1 < x < 0$
$\text{B.}$ $x < -1$
$\text{C.}$ $x>1$
$\text{D.}$ $-1 < x < 0$ 或 $x>1$
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $a>b$, 则 $a-1 < b-1$
$\text{B.}$ 若 $(2,3)$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上的点, 则 $(-1,6)$ 也是该函数图象上的点
$\text{C.}$ 矩形对角线相互平分且相等
$\text{D.}$ 三角形的一条中位线等分该三角形的面积
函数 $y=x^2+2 b x+4$ 的图象与 $x$ 轴两个交点的横坐标分别为 $x_1 ， x_2$ ，且 $x_1>1 ， x_2-x_1=4$ ， 当 $1 \leqslant x \leqslant 3$ 时，该函数的最小值 $m$ 与 $b$ 的关系式是
$\text{A.}$ $m=2 b+5$
$\text{B.}$ $m=4 b+8$
$\text{C.}$ $m=6 b+13$
$\text{D.}$ $m=-b^2+4$
反比例函数 $y=-\frac{4}{x}$ 的图象一定经过的点是
$\text{A.}$ $(1,4)$
$\text{B.}$ $(-1,-4)$
$\text{C.}$ $(-2,2)$
$\text{D.}$ $(2,2)$
如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象经过正方形 $O A B C$ 的顶点 $A, B C$ 边与 $y$ 轴交于点 $D$, 若 正方形 $O A B C$ 的面积为 $12, B D=2 C D$, 则 $k$ 的值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $\frac{18}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{16}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{10}{3}$
如图, 正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 和 $y=\frac{n}{x}$ 的图象的四个 分支上, 则实数 $n$ 的值为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ 3
下列函数中, 函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的是
$\text{A.}$ $y=6 x$
$\text{B.}$ $y=-6 x$
$\text{C.}$ $y=\frac{6}{x}$
$\text{D.}$ $y=-\frac{6}{x}$
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A 、 B$ 分别在 $y 、 x$ 轴上, $B C \perp x$ 轴, 点 $M$ 、 $N$ 分别在线段 $B C 、 A C$ 上, $B M=C M, N C=2 A N$, 反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}(x>0)$ 的图象经过 $M 、 N$ 两点, $P$ 为 $x$ 轴正半轴上一点, 且 $O P: B P=1: 4, \triangle A P N$ 的面积为 3 , 则 $k$ 的值 为
$\text{A.}$ $\frac{45}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{45}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{144}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{72}{25}$
关于函数 $y=-2 x+1$, 下列结论正确的是
$\text{A.}$ 图象必经过 $(-1,1)$
$\text{B.}$ 图象经过第一、二、三象限
$\text{C.}$ 当 $x>\frac{1}{2}$ 时, $y < 0$
$\text{D.}$ $y$ 随 $x$ 的增大而增大
如图, 直线 $l$ 是一次函数 $y=k x+b$ 的图象, 且直线 $l$ 过点 $(-2,0)$, 则下列 结论错误的是
$\text{A.}$ $k b>0$
$\text{B.}$ 直线 $l$ 过坐标为 $(1,3 k)$ 的点
$\text{C.}$ 若点 $(-6, m),(-8, n)$ 在直线 $l$ 上, 距 $n>m$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2} k+b < 0$
已知一次函数 $y=k x+b$ 的图象如图所示, 则 $k, b$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $k>0, b < 0$
$\text{B.}$ $k < 0, b < 0$
$\text{C.}$ $k < 0, b>0$
$\text{D.}$ $k>0, b>0$
一次函数 $y=k x-1$ 的函数值 $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 的增大而减小, 当 $x=2$ 时, $\mathrm{y}$ 的值可以是
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ -2
直线 $y=-3 x+1$ 经过第 ________ 象限
$\text{A.}$ 一、二、三
$\text{B.}$ 一、二、四
$\text{C.}$ 一、三、四
$\text{D.}$ 二、三、四
已知二次函数 $y=a x^2+b x+1(a \neq 0)$ 的图象的顶点在第二象限, 且过点 $(1,0)$.当 $a-b$ 为整数时, $a b=$
$\text{A.}$ $0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-2$
小强用一根长为 $16 \mathrm{~cm}$ 的铁丝围成矩形, 则矩形的最大面积是
$\text{A.}$ $16 \mathrm{~cm}^2$
$\text{B.}$ $32 \mathrm{~cm}^2$
$\text{C.}$ $64 \mathrm{~cm}^2$
$\text{D.}$ $8 \mathrm{~cm}^2$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知抛物线 $y=a x^2-2 a x+b(a>0)$ 经过 $A\left(2 n+3, y_1\right), B\left(n-1, y_2\right)$ 两点, 若 $A, B$ 分别位于抛物线对称轴的两侧, 且 $y_1 < y_2$, 则 $n$ 的取值范围是
一个二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的顶点在 $y$ 轴正半轴上, 且其对称轴左侧的部分是上升 的, 那么这个二次函数的解析式可以是
如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 经过点 $A(-3,0)$, 顶点为 $M(-1, m)$, 且抛物 线与 $y$ 轴的交点 $B$ 在 $(0,-2)$ 与 $(0,-3)$ 之间 (不含端点), 则下列结论: (1)当 -3 $\leqslant x \leqslant 1$ 时, $y \leqslant 0$; (2)当 $\triangle A B M$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 时, $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$; (3)当 $\triangle A B M$ 为直角三角形 时, 在 $\triangle A O B$ 内存在唯一一点 $P$, 使得 $P A+P O+P B$ 的值最小, 最小值的平方为 $18+9 \sqrt{3}$. 其中正确的结论是 (1) (2). (填写所有正确结论的序号)
一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的图象经过点 $A(-1,-2)$ 和点 $B(-2,0),-$ 次函数 $y=2 x$ 的图象过点 $A$, 则不等式 $2 x \leq k x+b$ 的解集为
已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A 、 C$ 在反比例函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x>0)$ 的图象上, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A B C=30^{\circ}, A B \perp x$ 轴, 点 $B$ 在点 $A$ 的上方, 且 $A B=6$, 则点 $C$ 的坐标为
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 天娇生态园要建造一圆形喷水池, 在水池中央垂直于水面安装 一个柱子 $O A, O$ 恰在水面中心, $O A$ 高 3 米, 如图 1 , 由柱子顶端处的喷头向外喷水, 水流在各方面沿形状相同的抛物线落下.
(1) 如果要求设计成水流在离 $O A$ 距离为 1 米处达到最高点, 且与水面的距离是 4 米, 那么水池的内部半径至少要多少米, 才能使喷出的水不致落到池外； ( 利用图 2 所示的坐标系进行计算)
（2）若水流喷出的抛物线形状与 (1) 相同, 水池内部的半径为 5 米, 要使水流不落到池外, 此时水流达到的最高点与水面的距离 应是多少米?
综合与探究
如图 1, 已知抛物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 且 $A(-1,0)$, $C(0,3)$. 点 $P$ 是抛物线上的一个动点.
(1) 求抛物线的函数表达式,并直接写出直线 $B C$ 的函数表达式.
(2) 如图 1, 当点 $P$ 在直线 $B C$ 上方时, 连接 $A P$ 交 $B C$ 于点 $E$, 当 $P E=\frac{1}{2} A E$ 时, 求点 $P$ 的 坐标.
(3) 如图 2, 连接 $C P$, 过点 $P$ 作 $Q P \perp C P$ 交抛物线的对称轴于点 $Q$. 试探究 : 是否存在 一点 $P$ 使 $C P=Q P$. 若存在, 请直接写出点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
如图, 平面直角坐标系中, 直线 $A B: y=-\frac{1}{3} x+b$ 交 $y$ 轴于点 $A(0,1)$, 交 $x$ 轴于 点 $B$. 直线 $x=1$ 交 $A B$ 于点 $D$, 交 $x$ 轴于点 $E, P$ 是直线 $x=1$ 上一动点, 且在点 $D$ 的上方, 设 $P(1, n)$.
(1) 求直线 $A B$ 的解析式和点 $B$ 的坐标;
(2) 求 $\triangle A B P$ 的面积 (用含 $n$ 的代数式表示) ;
( 3 ) 当 $S_{\triangle A B P}=2$ 时, 以 $P B$ 为边在第一象限作等腰直角三角形 $B P C$, 求出点 $C$ 的坐标.
如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_1: y=-\frac{1}{3} x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象交于 $A ， B$ 两点，已 知 $A$ 点的纵坐标是 2 .
（1）求反比例函数的表达式.
(2) 根据图象直接写出 $-\frac{1}{3} x>\frac{k}{x}$ 的解集.
在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+p x+q$ 的图象过点 $(-2,4),(1,-2)$.
(1) 求该二次函数的解析式;
（2）当 $-1 \leq x \leq 3$ 时，求 $y$ 的最大值与最小值的差;
( 3 ) 若一次函数 $y=(2-m) x+2-m$ 的图象与二次函数 $y=x^2+p x+q$ 的图象交点的横坐标 分别为 $a$ 和 $b$, 且 $a < 3 < b$, 求 $m$ 的取值范围.
如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^2+b x+2$ 过点 $(1,3)$, 且交 $x$ 轴于点 $A(-1,0), B$ 两点, 交 $y$ 轴于点 $C$.
(1) 求抛物线的表达式;
(2) 点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点, 过点 $P$ 作 $P D \perp B C$ 于点 $D$, 过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $B C$ 于点 $E$, 求 $\triangle P D E$ 周长的最大值及此时点 $P$ 的坐标;
(3) 在 (2) 中 $\triangle P D E$ 周长取得最大值的条件下, 将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移 $\sqrt{5}$ 个单位长度, 点 $M$ 为平 移后的抛物线的对称轴上一点. 在平面内确定一点 $N$, 使得以点 $A, P, M, N$ 为顶点的四边形是菱形, 写出 所有符合条件的点 $N$ 的坐标, 并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程.
已知二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图像经过 $A(1,5) 、 B(0,3) 、 C(-1,-3)$ 三点.
(1) 求这个函数的解析式.
( 2 ) 用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标.
如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y=x^2+b x+c$ 经过 $A(-1,4) 、 B(3,-4)$ 两点，且与 $y$ 轴 的交点为点 $C$.
( 1 ) 求此抛物线的表达式及对称轴.
(2) 求 $\cot \angle O B C$ 的值.
(3) 在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\triangle P B C$ 是以 $B C$ 为直角边的直角三角形? 如果存在，求出所有符 合条件的点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由.
已知二次函数 $y=x^2+a x+b$ 的图像与 $x$ 轴的两个交点的横坐标分 别是 $m, n$, 且 $|m|+|n| \leq 1$. 设满足上述要求的 $b$ 的最大值和最小值分 别是 $p$ 和 $q$, 则 $|p|+|q|=$
已知拋物线 $y=a x^2+b x+3$ 父 $x$ 轴于 $A(1,0), B(3,0)$ 两点, $M$ 为抛物线的 顶点, $C, D$ 为抛物线上不与 $A, B$ 重合的相异两点, 记 $A B$ 中点为 $E$, 直线 $A D, B C$ 的父点为 $P$.
(1) 求抛物线的函数表达式;
(2) 若 $C(4,3), D\left(m,-\frac{3}{4}\right)$, 且 $m < 2$, 求证: $C, D, E$ 三点共线;
(3) 小明研究发现: 无论 $C, D$ 在抛物线上如何运动, 只要 $C, D, E$ 三点共线, $\triangle A M P, \triangle M E P, \triangle A B P$ 中必存在面积为定值的三角形. 请直接写出其中面积为 定值的二角形及其面积, 不必说明理由.
某加油站现有面值为 1000 元的会员卡, 购买该卡可以打九折. 若用此卡内的金额米加油, 则每升油在原 价的基础上还可以椷价 0.3 元. 某人购买了此会员卡, 并将卡内金额一次性全部用完.
(1) 他实际花了多少钱购买会员卡?
（2）假设优惠后该人加油的实际单价为 $y$ 元/升, 每升油的原价为 $x$ 元/升, 请写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系 式 (不必写出定义域);
（3）若每升油原价为 7.3 元/升，那么优患后的实际单价与原价的差值为多少?
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 直线 $y=\frac{3}{4} x+6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$, 与 $y$ 轴交于点 $B$, 点 $C$ 在线段 $A B$
上. (不与点 $B$ 重合), 以 $C$ 为顶点的抛物线 $M: y=a x^2+b x+c \quad(a \neq 0)$ 经过点 $B$.
(1) 求点 $A 、 B$ 的坐标;
(2) 求 $b 、 c$ 的值:
(3) 平移抛物线 $M$, 使得点 $C$ 平移至点 $P$, 点 $B$ 平移至点 $D$, 联结 $C D$, 且 $C D / / x$ 轴, 如果点 $P$ 在 $x$ 轴上, 且新抛物线经过点 $B$, 求新抛物线 $N$ 的表达式.
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 等腰直角三角形 $A B C$ 的直角顶点 $C(3,0)$, 顶点 $A 、 B(6, m)$ 恰好落在反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$ 第一象限的图象上.
(1) 分别求反比例函数的表达式和直线 $A B$ 所对应的一次函数的表达式;
(2) 在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$, 使 $\triangle A B P$ 周长的值最小. 若存在, 求出最小值; 若不存 在, 请说明理由.
如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-4,0) 、 B(2,0)$, 且经过点 $C$ $(-2,6)$.
(1) 求抛物线的表达式;
(2) 在 $x$ 轴上方的抛物线上任取一点 $N$, 射线 $A N 、 B N$ 分别与抛物线的对称轴交于点 $P$ 、 $Q$, 点 $Q$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q^{\prime}$, 求 $\triangle A P Q^{\prime}$ 的面积;
(3) 点 $M$ 是 $y$ 轴上一动点, 当 $\angle A M C$ 最大时, 求 $M$ 的坐标.
某公司有 $A, B$ 两种客车, 它们的载客量和租金如下表:
某校计划同时租用 $A, B$ 两种客车共6辆 ( 不单独租用某一种客车), 组织 330 名师生到综合素质教育实践基地参加活动设学校租用 $A$ 种客车 $x$ 辆, 租车总费用为 $y$ 元
(1) 学校至少租用多少辆 $A$ 种客车?
(2) 求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
(3) 租车总费用的最小值是 元.
如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x < 0)$ 与一次函数 $y=-2 x+m$ 的图象交于点 $A(-1,4), B C \perp y$ 轴于点 $\mathrm{D}$, 分别交反比例函数与一次函数的图象于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$.
(1) 求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 与一次函数 $y=-2 x+m$ 的表达式;
(2) 当 $O D=1$ 时, 求线段 $B C$ 的长.
已知一次函数 $y=-2 x+3$, 完成下列问题:
(1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象;
(2)图象与坐标轴交点形成的 $\triangle B O A$ 的面积是
(3)根据图象回答: 当 $x$ ________ 时, $y>1$.
