单选题 （共 19 题 ），每题只有一个选项正确
已知点 $\left(-3, y_1\right),\left(-1, y_2\right),\left(1, y_3\right)$ 在下列某一函数的图象上,且 $y_3 < y_1$ $ < y_2$,那么这个函数是
$\text{A.}$ $y=3 x$
$\text{B.}$ $y=-3 x^2$
$\text{C.}$ $y=\frac{3}{x}$
$\text{D.}$ $y=-\frac{3}{x}$
二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应关系如下表, 设一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 的根为 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $-1.5 < x_1 < -1$
$\text{B.}$ $-1 < x_1 < -0.5$
$\text{C.}$ $0.5 < x_2 < 1$
$\text{D.}$ $1 < x_2 < 1.5$
如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图2是该台灯电流$I$与电阻$R$成反比例函数的图像，该图像经过点$P(880,0.25)$ 根据图像可知，下来说法正确的是
$\text{A.}$ 当 $R < 0.25$ 时, $I < 880$
$\text{B.}$ $I$ 与 $R$ 的函数关系式是 $I=\frac{200}{\mathrm{R}}(R>0)$
$\text{C.}$ 当 $R>1000$ 时, $I>0.22$
$\text{D.}$ 当 $880 < R < 1000$ 时， $I$ 的取值范因是 $0.22 < I < 0.25$
把抛物线 $y=-x^2$ 向左平移 1 个单位, 然后向上平移 3 个单位, 则平移后抛物线的解析式 为
$\text{A.}$ $y=-(x-1)^2-3$
$\text{B.}$ $y=-(x+1)^2-3$
$\text{C.}$ $y=-(x-1)^2+3$
$\text{D.}$ $y=-(x+1)^2+3$
一个质点在第一象限及 $\mathrm{x}$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴上运动, 在第一秒钟, 它从原点运动到 $(0,1)$, 然后接着 按图中箭头所示方向运动 [即 $(0,0) \rightarrow(0,1) \rightarrow(1,1) \rightarrow(1,0) \rightarrow \cdots]$, 且每秒移动一个单位, 那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是
$\text{A.}$ $(4,0)$
$\text{B.}$ $(5,0)$
$\text{C.}$ $(0,5)$
$\text{D.}$ $(5,5)$
“如果二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点, 那么一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 有 两个不相等的实数根.” 请根据你对这句话的理解, 解决下面问题: 若 $m 、 n(m < n)$ 是关于 $x$ 的方程 $1-(x-a)(x-b)=0$ 的两根, 且 $a < b$, 则 $a 、 b 、 m 、 n$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $m < a < b < n$
$\text{B.}$ $a < m < n < b$
$\text{C.}$ $a < m < b < n$
$\text{D.}$ $m < a < n < b$
如图, 四边形 $A B C D$ 的顶点都在坐标轴上, 若 $A B / / C D, \triangle A O B$ 与 $\triangle C O D$ 的面积分 别为 8 和 18 , 若双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 恰好经过 $B C$ 的中点 $E$, 则 $k$ 的值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ -6
如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 的对称轴为 $x=-1$, 与 $x$ 轴的一个交点在 $(-3,0)$ 和 $(-2,0)$ 之间, 其部分图象如图所示, 则下列结论：
(1) $b^2-4 a c>0 $
(2) $2 a=b$
(3) 点 $\left(-\frac{7}{2}, y_1\right) 、\left(-\frac{3}{2}, y_2\right) 、\left(\frac{5}{4}, y_2\right)$ 是该抛物线上的点, 则 $y_1 < y_2 < y_2$;
(4) $3 b+2 c < 0 $
(5) $t(a t+b) \leq a-b$ ( $t$ 为任意实数);
(6) $(a+c)^2>b^2$, 其中正确结论 的个数是
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知二次函数 $y=m x^2-4 m x$ ( $m$ 为不等于 0 的常数), 当 $-2 \leq x \leq 3$ 时, 函数 $y$ 的最小值为 -2 , 则$m$的值为
$\text{A.}$ $\pm \frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{6}$ 或 $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$ 或 $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$ 或2
若抛物线 $M: y=x^2+(3 m-1) x-5$ 与抛物线 $M^{\prime}: y=x^2-6 x-n+1$ 关于直线 $x=1$ 对称, 则 $m, n$ 的值分别为
$\text{A.}$ $m=-\frac{11}{3}, n=-2$
$\text{B.}$ $m=\frac{1}{3}, n=-2$
$\text{C.}$ $m=\frac{1}{3}, n=2$
$\text{D.}$ $m=1, n=-2$
如图, 在平面直角坐标系中, 点 $P\left(-\frac{1}{2}, a\right)$ 在直线 $y=2 x+2$ 与直线 $y=2 x+4$ 之间, 则 $a$ 的取 值范围是
$\text{A.}$ $2 < a < 4$
$\text{B.}$ $1 < a < 3$
$\text{C.}$ $1 < a < 2$
$\text{D.}$ $0 < a < 2$
如图，抛物线 $y=a x^2+b x+1$ 的顶点在直线 $y=k x+1$ 上，对称轴为直线 $x=1$, 有以下四个结论: (1) $a b < $ 0 , (2) $b < \frac{1}{3}$, (3) $a=-k$, (4) 当 $0 < x < 1$ 时, $a x+b>k$, 其中正确的结论是
$\text{A.}$ ①②③
$\text{B.}$ ①③④
$\text{C.}$ ①②④
$\text{D.}$ ②③④
正比例函数 $y=k x$ 的图象经过点 $(1,3) ，(a, b)(b \neq 0)$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
二次函数 $y=a x^2-4 a x+c(a>0)$ 的图象过 $A\left(-2, y_1\right) ， B\left(0, y_2\right) ， C\left(3, y_3\right) ， D\left(5, y_4\right)$ 四个点，下列说 法一定正确的是
$\text{A.}$ 若 $y_1 y_2>0$ ，则 $y_3 y_4>0$
$\text{B.}$ 若 $y_1 y_4>0$ ，则 $y_2 y_3>0$
$\text{C.}$ 若 $y_2 y_4 < 0$ ，则 $y_1 y_3 < 0$
$\text{D.}$ 若 $y_3 y_4 < 0$ ，则 $y_1 y_2 < 0$
反比例函数 $\mathrm{y}=\frac{6}{x}$ 的图象分别位于
$\text{A.}$ 第一、第三象限
$\text{B.}$ 第一、第四象限
$\text{C.}$ 第二、第三象限
$\text{D.}$ 第二、第四象限
已知二次函数 $y=2(x-3)^2-2$ ，下列说法: (1)其图象开口向上；(2)顶点坐标为 $(3,-2)$ ；(3)其图 象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,-2)$ ；(4) 当 $x \leqslant 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，其中正确的有
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
规定 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，例如 $[2.3]=2 ，[3]=3 ，[-2.5]=-3$. 那么函数 $y=[x]$ 的图象 为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知抛物线 $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 如图所示，那么 $a 、 b 、 c$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a < 0, b>0, c>0$
$\text{B.}$ $a < 0, b < 0 、 c>0$
$\text{C.}$ $a < 0, b>0, c < 0$
$\text{D.}$ $a < 0, b < 0, c < 0$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图, 点 $A, C$ 为函数 $y=\frac{k}{x}(x < 0)$ 图象上的两点, 过 $A, C$ 分别作 $A B \perp x$ 轴, $C D \perp x$ 轴, 丢足分别为 $B, D$, 连接 $O A, A C, O C$, 线段 $O C$ 交 $A B$ 于点 $E$, 且点 $E$ 恰好为 $O C$ 的中点. 当 $\triangle A E C$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ 时, $k$ 的值为
已知正比例函数为 $y=m x^{|m+1|}$, 则 $m$ 的值为
反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象过点 $(2,-3)$, 则 $\mathrm{k}=$
二次函数 $y=2 x^2-3 x+1$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为
已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 与 $y=x-1$ 的图象交于点 $P(a, b)$ ，且 $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{4}$ ，则 $k$ 的值 是
已知抛物线 $y=-2 x^2+b x+c$ 经过点 $(0,-2)$ ，当 $x < -4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小. 设 $r$ 是抛物线 $y=-2 x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴的交点 (交点也称公共点) 的横坐 标.
(1)求 $b 、 c$ 的值；
(2)求证: $r^4-2 r^2+1=60 r^2$.
若抛物线 $y=a x^2+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(m, 0), B(n, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C(0, c)$ ，则称 $\triangle A B C$ 为“抛物三 角形”，特别地，当 $m n c < 0$ 时，称 $\triangle A B C$ 为“正抛物三角形”；当 $m n c>0$ 时，称 $\triangle A B C$ 为“倒抛 物三角形"，那么，当 $\triangle A B C$ 为“倒抛物三角形"时， $a, c$ 应分别满足条件
如图，已知点 $A$ 是一次函数 $y=\frac{1}{2} x(x \geqslant 0)$ 图象上一点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线 $l ， B$ 是 $l$ 上一点 $(B$ 在 $A$ 上方)，在 $A B$ 的右侧以 $A B$ 为斜边作等腰直角三角形 $A B C$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象过点 $B ， C$ ，若 $\triangle O A B$ 的面积为 6 ，则 $\triangle A B C$ 的面积是
在平面直角坐标系中, 已知抛物线 $y_1=a x^2+3 a x-4 a(a$ 是常数, 且 $a < 0)$, 直线 $A B$ 过点 $(0, n)(-5 < n < 5)$ 且 垂直于 $y$ 轴.
(1) 该抛物线顶点的纵坐标为 ( 用含 $a$ 的代数式表示).
(2) 当 $a=-1$ 时, 沿直线 $A B$ 将该抛物线在直线上方的部分翻折, 其余部分不变, 得到新图象 $G$, 图象 $G$ 对应的函数记为 $y_2$, 且当一 $\leq x \leq 2$ 时, 函数 $y_2$ 的最大值与最小值之差小于 7 , 则 $n$ 的取值范围为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
原地正面掷实心球是中招体育者试项目之一. 受测者站在起掷线后, 被掷出的实心球进行斜抛运动, 实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩. 实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分. 如图,建立平面直角坐标系, 实心球从出手到着陆的过程中, 竖直高度 $y(\mathrm{~m})$ 与水平距离 $x(\mathrm{~m})$ 近似满足函数关系 $y=$ $a x^2+b x+c(a < 0)$. 小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练.
（1）第一次训练时,智能实心球回传的水平距离 $x(\mathrm{~m})$ 与竖直高度 $y(\mathrm{~m})$ 的 几组对应数据如下:
则，
①抛物线顶点的坐标是 , 顶点坐标的实际意义是
② 求 $y$ 与 $x$ 近似满足的函数关系式,并直接写出本次训练的成绩
(2)第二次训练时, $y$ 与 $x$ 近似涑足函数关系 $y=-0.09 x^2+0.72 x+1.8$, 则第二火训练成绩与第一次相比是否有提啇? 为什么?
(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素, 可以通过多种方法调整实心球的轨迹。 小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线 $y=ax^2+bx+c (a < 0 )$
中 $c$ 的值不变, 要㧹高成绩应使 $a, b$ 的值做怎样的调整?
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 攵物线 $y=x^2+a x+a-5$ 与 $x$ 轴交于点 $A, B$ 两点 (点 $\mathrm{A}$ 在点 $B$ 的左则), 与 $y$ 轴交于点 $C$, 对称轴是直线 $x=-1$.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)若 $P(n, c)$ 和 $Q(2, b)$ 是抛物线上两点, 且 $c < b$, 求 $n$ 的取值范围;
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $A B=4, \angle B A D=60^{\circ}$, 点 $P$ 从点 $A$ 出发, 沿线段 $A D$ 以每 秒 1 个单位长度的速度向终点 $D$ 运动, 过点 $P$ 作 $P Q \perp A B$ 于点 $Q$, 作 $P M \perp A D$ 交直线 $A B$ 于点 $M$, 交直线 $B C$ 于点 $F$, 设 $\triangle P Q M$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分图形的面积为 $S$ (平方单位), 点 $P$ 运动时间为 $t$ (秒) .
(1) 当点 $M$ 与点 $B$ 重合时, 求 $t$ 的值;
(2) 当 $t$ 为何值时, $\triangle A P Q$ 与 $\triangle B M F$ 全等;
(3) 求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式;
(4) 以线段 $P Q$ 为边, 在 $P Q$ 右侧作等边三角形 $P Q E$, 当 $2 \leqslant t \leqslant 4$ 时, 请直接写出点 $E$ 运动路径的长.
如图 , 抛物线 $C_1: y=x^2+2 x+c$ 与拋物线 $C_2: y=x^2-4 x+d$ 相交于点 $T$, 点 $T$ 的横坐标 为 1. 过点 $T$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $C_1$ 于点 $A$, 交抛物线 $C_2$ 于点 $B$. 抛物线 $C_1$ 与 $C_2$ 分别与 $\mathrm{y}$ 轴交于点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$.
(1)求抛物线 $\mathrm{C}_1$ 的对称轴和点 $\mathrm{A}$ 的横坐标,并求线段 $\mathrm{AB}$ 的长;
(2) 点 $P(-2, p)$ 在抛物线 $C_1$ 上,点 $Q(5, q)$ 在抛物线 $C_2$ 上,则 $\mathrm{p}$ （ ） $q$ ( 填 $ > < =$)
(3) 若点 $C(0,-1)$, 求将抛物线 $C_1$ 平移到拋物线 $C_2$ 的最短距离.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知抛物线 $y=a x^2+b x-\sqrt{3}(a \neq 0)$ 经过 $A(-1,0) 、 B(3,0)$ 两点, 交 $y$ 轴于点 $C$, 顶点为 $E$. 过线段 $O B$ 上动点 $F$ 作 $C F$ 的垂线交 $B C$ 于点 $D$, 直线 $D E$ 交 $y$ 轴于点 $G$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若 $C G=C D$, 求线段 $O F$ 的长;
(3)连接 $C E$, 求 $\triangle C D E$ 面积的最小值.
某设计师结合数学知识设计一款沙发, 沙发三视图如图 1 所示, 将沙发侧面展示 图简化后, 得到图 2 所示图形. 为了解沙发相关性能, 设计师将图形放人平面直角坐标系, 其中曲线 $A B$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的一段图象, 线段 $B D$ 是一次函数 $y=\frac{1}{5} x+b$ 的一 段图像,点 $B(20,32)$, 沙发腿 $D E \perp x$ 轴,请你根据图形解决以下问题:
(1) 请求出反比例函数表达式和一次函数表达式 (不要求写 $x$ 的取值范围);
(2) 过点 $A$ 向 $x$ 轴作垂线, 交 $x$ 轴于点 $F$, 已知 $C F=4 \mathrm{~cm}, D E=40 \mathrm{~cm}, \tan \alpha=4$, 设计师想用一 个长方体箱子将沙发放进去, 则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少?
将小球 (看作一点)以速度 $v_1$ 坚直上抛, 上升速度随时间推移逐渐减少直至为 0 , 此时小球达到最大高度, 小球相对于抛出点的高度 $y(\mathrm{~m})$ 与时间 $t(\mathrm{~s})$ 的函数解析式为两部 分之和, 其中一部分为速度 $v_1(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ 与时间 $t(\mathrm{~s})$ 的积, 另一部分与时间 $t(\mathrm{~s})$ 的平方成正比. 若上升的初始速度 $v_1=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 且当 $t=1 \mathrm{~s}$ 时, 小球达到最大高度.
(1)求小球上升的高度 $y$ 与时间 $t$ 的函数关系式 (不必写范围), 并写出小球上升的最大 高度;
(2)如图, 平面直角坐标系中, $y$ 轴表示小球相对于抛出点的高度, $x$ 轴表示小球距抛出点的 水平距离, 向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度 $v_2(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$, 发现小球运动的路 线为一抛物线, 其相对于抛出点的高度 $y(\mathrm{~m})$ 与时间 $t(\mathrm{~s})$ 的函数解析式与 (1) 中的解析式相同.
(1)若 $v_2=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 当 $t=\frac{3}{2} \mathrm{~s}$ 时,小球的坐标为 , 小球上升的最高点坐标为 ;求小 球上升的高度 $y$ 与小球距抛出点的水平距离 $x$ 之间的函数关系式;
(2)在小球的正前方的墙上有一高 $\frac{35}{36} \mathrm{~m}$ 的小窗户 $P Q$, 其上沿 $P$ 的坐标为 $\left(6, \frac{15}{4}\right)$, 若小球 恰好能从窗户中穿过 (不包括恰好击中点 $P, Q$, 墙厚度不计), 请直接写出小球的水平速度 $v_2$ 的取值范围.
我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐 标. 如：求直线 $y=2 x+3$ 与 $y=-x+6$ 的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x+3 \\ y=-x+6\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1 \\ \mathrm{y}=5\end{array}\right.$, 所以直线 $y=2 x+3$ 与 $y=-x+6$ 的交点坐标为 $(1 ， 5)$. 请利用上述知识解决下列问题:
(1) 已知直线 $y=k x-2$ 和扡物线 $y=x^2-2 x+3$ ，
① 当 $k=4$ 时, 求直线与抛物线的交点坐标;
②当 $k$ 为何值时, 直线与拋物线只有一个交点?
(2) 已知点 $A(a, 0)$ 是 $x$ 轴上的动点, $B(0,4 \sqrt{2})$, 以 $A B$ 为边在 $A B$ 右侧做正方形 $A B C D$, 当正方形 $2 \sqrt{2}$
$A B C D$ 的边与反比例函数 $y=\overline{\mathrm{x}}$ 的图象有 4 个交点时, 试求 $a$ 的取值范围.
手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为 1:3
(1) 求这条抛物线的表达式;
（2）山坡上 $A$ 处的水平距离 $O E$ 为 9 米， $A$ 处有一棵树，树高 5 米，则小刚投出的手榴単能否越过 这棵树? 请说明理由;
(3) 求飞行的过程中手榴㫜离山坡的最大高度是多少米.
如图，直线 $l$ 是一次函数 $y=k x+b$ 的图象，直线经过点 $(3,-3)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B(0,1)$
(1) 求直线 $l$ 的解析式.
(2) 求 $l$ 与两坐标轴所围成的三角形的面积.
（3）当 $x$ 时, $y \geqslant 0$.
（4）求原点到直线的距离.
已知抛物线 $y=m x^2-(1-4 m) x+c$ 过点 $(1, a) ，(-1, a) ，(0,-1)$.
(1) 求该抛物线的解析式.
（2 ) 已知过原点的直线与该抛物线交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 右侧)，该抛物线的顶点为 $C$ ， 连接 $A C ， B C$ ，点 $D$ 在点 $A ， C$ 之间的抛物线上运动（不与点 $A ， C$ 重合) . 当点 $A$ 的横坐 标是 4 时，若 $\triangle A B C$ 的面积与 $\triangle A B D$ 的面积相等，求点 $D$ 的坐标.
（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线 相切. 已知点 $F$ 的坐标是 $(0,1)$ ，过该抛物线上的任意一点 (除顶点外) 作该抛物线的切线 $l$ ，分别交直线 $y=1$ 和 $y=-3$ 直线于点 $P ， Q$ ，求 $F P^2-F Q^2$ 的值.