单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $O$ 为坐标原点, 点 $A 、 B$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上的两个动点, 且 $O A \perp O B$. 连接点 $A 、 B$, 过 $O$ 作 $O C \perp A B$ 于点 $C$, 则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ 1
点 $\left(1, y_{1}\right),\left(2, y_{2}\right),\left(3, y_{3}\right),\left(4, y_{4}\right)$ 在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象上, 则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 中最小的是（）
$\text{A.}$ $y_{1}$
$\text{B.}$ $y_{2}$
$\text{C.}$ $y_{3}$
$\text{D.}$ $y_{4}$
桂林作为国际旅游名城, 每年吸引着大量游客前来观光. 现有一批游客分别乘坐甲 乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点. 行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后 继续驶向景点, 乙大巴全程匀速驶向景点. 两辆大巴的行程 $s(k m)$ 随时间 $t(h)$ 变化的 图象 (全程) 如图所示. 依据图中信息, 下列说法错误的是 （）
$\text{A.}$ 甲大巴比乙大巴先到达景点
$\text{B.}$ 甲大巴中途停留了 $0.5 h$
$\text{C.}$ 甲大巴停留后用 $1.5 h$ 追上乙大巴
$\text{D.}$ 甲大巴停留前的平均速度是 $60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$, 且在各自象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 则下列点可 能在这个函数图象上的为（）
$\text{A.}$ $(2,3)$
$\text{B.}$ $(-2,3)$
$\text{C.}$ $(3,0)$
$\text{D.}$ $(-3,0)$
定义一种运算: $a^{*} b=\left\{\begin{array}{ll}a, & a \geq b \\ b, & a < b\end{array}\right.$, 则不等式 $(2 x+1) *(2-x)>3$ 的 解集是
$\text{A.}$ $x>1$ 或 $x < \frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-1 < x < \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $x>1$ 或 $x < -1$
$\text{D.}$ $x>\frac{1}{3}$ 或 $x < -1$
抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 上部分点的横坐标 $x$, 纵坐标 $y$ 的对应值如表:
下列结论不正确的是（）
$\text{A.}$ 抛物线的开口向下
$\text{B.}$ 抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(2,0)$
$\text{D.}$ 函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的最大值为 $\frac{25}{4}$
已知拋物线 $v=x^{2}+m x$ 的对称轴为直线 $x=2$, 则关于 $x$ 的方程 $x^{2}+m x=5$ 的根是 ( )
$\text{A.}$ $0,4$
$\text{B.}$ $1,5$
$\text{C.}$ $1,-5$
$\text{D.}$ $-1,5$
如图, 曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 $h(\mathrm{~m})$ 随飞行时间 $t(\mathrm{~s})$ 的变化情况, 则这只蝴蝶飞 行的最高高度约为
$\text{A.}$ 5m
$\text{B.}$ 7m
$\text{C.}$ 10m
$\text{D.}$ 13m
填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
把抛物线 $y=2 x^{2}+1$ 向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 3 个单位长度, 得到的拋物线的解 析式为
物理实验证实：在弹性限度内, 某弹簧长度 $y(\mathrm{~cm})$ 与所挂物体质量 $x(\mathrm{~kg})$ 满足函数关系 $y=k x+15$. 下表是测量物体质量时, 该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关杀式；
（2）当弹簧长度为 $20 \mathrm{~cm}$ 时, 求所挂物体的质量
如图, 抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ ( $b, c$ 是常数) 的顶点为 $C$, 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, $A(1,0), A B=4$, 点 $P$ 为线段 $A B$ 上的动点, 过 $P$ 作 $P Q / / B C$ 交 $A C$ 于点 $Q$.
（1）求该抛物线的解析式;
（2）求 $ \triangle C P Q $ 面积的最大值, 并求此时 $ P$ 点坐标.
如图, 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$ 的图象上, 且点 $A$ 的横坐标为 $a(a < 0), A B \perp y$ 轴于点 $B$, 若 $\triangle A O B$ 的面积是 3 , 则 $k$ 的值是
已知直线 $y=k x+b$ 过第一象限且函数值随着 $x$ 的增大而减小, 请列举出来这样的一 条直线:
如图, 已知点 $A(3,0), B(1,0)$, 两点 $C(-3,9), D(2$,
4) 在抛物线 $y=x^{2}$ 上, 向左或向右平移抛物线后, $C, D$ 的对应点分别为 $C^{\prime}, D^{\prime}$. 当 四边形 $A B C^{\prime} D^{\prime}$ 的周长最小时, 拖物线的解析式为
在平面直角坐标糸 $x O y$ 中, 若点 $A\left(2, y_{1}\right), B\left(5, y_{2}\right)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 的图象 上, 则 $y_{1} \_\_ y_{2} ($ 填$>$ $=$ 或者$ < $).
若二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象经过点 $A(-2,0), B(0,-4)$, 其对称轴为直线 $x=1$, 与 $x$ 轴的另 一交点为C
(1) 求二次函数的表达式:
(2) 若点 $M$ 在直线 $A B$ 上, 且在第四象限, 过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$.
(1)若点 $N$ 在线段 $O C$ 上, 且 $M N=3 N C$, 求点 $M$ 的坐标;
(2)以 $M N$ 为对角线作正方形 $M P N Q$ (点 $P$ 在 $M N$ 右侧), 当点 $P$ 在抛物线上时, 求点 $M$ 的坐标.
若点 $A\left(1, y_{1}\right), B\left(3, y_{2}\right)$ 在反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 的图象上, 则 $y_{1} \_\_ y_{2}$ (填 ">" " < " 或"=")
已知抛物线 $y=a x^{2}+\frac{9}{4} x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点, 与 $y$ 轴交于 $C$ 点, 具点 $A$ 的坐标为 $(-1$,$0)$ 、点 $C$ 的坐标为 $(0,3)$.
(1) 求该抛物线的函数表达式;
(2) 如图 1, 若该抛物线的顶点为 $P$, 求 $\triangle P B C$ 的面积;
(3) 如图 2, 有两动点 $D 、 E$ 在 $\triangle C O B$ 的边上运动, 速度均为每秒 1 个单位长度, 它们 分别从点 $C$ 和点 $B$ 同时出发, 点 $D$ 沿折线 $C O B$ 按 $C \rightarrow O \rightarrow B$ 方向向终点 $B$ 运动, 点 $E$ 沿线段 $B C$ 按 $B \rightarrow C$ 方向向终点 $C$ 运动, 当其中一个点到达终点时, 另一个点也随之停止 运动. 设运动时间为 $t$ 秒, 请解答下列问题:
(1)当 $t$ 为何值时, $\triangle B D E$ 的面积等于 $\frac{33}{10}$;
(2)在点 $D 、 E$ 运动过程中, 该抛物线上存在点 $F$, 使得依次连接 $A D 、 D F 、 F E 、 E A$ 得到 的四边形 $A D F E$ 是平行四边形, 请直接写出所有符合条件的点 $F$ 的坐标.
如图, 已知直角三角形 $\mathrm{ABO}$ 中 $\mathrm{AO}=1$, 将 $\triangle \mathrm{ABO}$ 绕 $\mathrm{O}$ 点旋转至 $\triangle \mathrm{ABO}$ 的位置, 且 $\mathrm{A}$ 在 $\mathrm{OB}$ 中点 $\mathrm{B}$ 在反比例函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{k}}{x}$ 上, 则 $\mathrm{k}$ 的值
已知抛物线的解析式为 $y=x^2-(m+2) x+m+1$ ( $m$ 为常数), 则下列说法正确的是
(1)当 $m=2$ 时, 点 $(2,1)$ 在抛物线上:
(2)对于任意的实数 $m, x=1$ 都是方程 $x^2-(m+2) x+m+1=0$ 的一个根;
(3)若 $m>0$, 当 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大;
(4)已知点 $A(-3,0), B(1,0)$, 则当 $-4 \leq m < 0$ 时, 抛物线与线段 $A B$ 有两个交点.
请写出一个 $y$ 随 $x$ 的增大而增大的一次函数的表达式:
如图, 点 $A$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0, x>0)$ 上, 点 $B$ 在直线 $y=m x-2 b(m>0, b>0)$ 上, $A$ 与 $B$ 关于 $x$ 轴 对称, 直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $C$, 当四边形 $A O C B$ 是菱形时, 有以下结论:
(1) $A(b, \sqrt{3} b)$
(2)当 $b=2$ 时, $k=4 \sqrt{3}$
(3) $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(4) $S_{\text {四边形 } A O C B}=2 b^2$
则所有正确结论的序号是
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 一次函数 $y=k x+b(k>0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点, 且与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 图象的一个交点为 $P(1, m)$.
(1) 求 $m$ 的值;
(2) 若 $P A=2 A B$, 求 $k$ 的值.
已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象过点 $(-1,0)$, 且对任意实数 $x$, 都有 $4 x-12 \leqslant a x^{2}+b x+c$ $\leqslant 2 x^{2}-8 x+6 .$
（1）求该二次函数的解析式;
(2) 若 (1) 中二次函数图象与 $x$ 轴的正半轴交点为 $A$,与 $y$ 轴交点为 $C$; 点 $M$ 是 (1) 中二次函数图象上的动点. 问在 $x$ 轴上是否存在点 $N$, 使得以 $A 、 C 、 M 、 N$ 为顶点的四 边形是平行四边形. 若存在, 求出所有满足条件的点 $N$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
今年, 某市举办了一届主题为 “强国复兴有我” 的中小学课本剧比赛. 某队伍为参赛需租用一 批服装, 经了解, 在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多 10 元, 用 500 元在甲商店 租用服装的数量与用 400 元在乙商店租用服装的数量相等.
(1) 求在甲, 乙两个商店租用的服装每套各多少元?
（2）若租用 10 套以上服装, 甲商店给以每套九折优惠. 该参赛队伍准备租用 20 套服装, 请问在哪家商店租用服装的费用较少, 并说明理由.
如图, 抛物线 $y=-x^{2}+3 x+4$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧), 与 $y$ 轴交于 $C$ 点, 抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $N$, 长为 1 的线段 $P Q$ (点 $P$ 位于点 $Q$ 的上 方) 在 $x$ 轴上方的抛物线对称轴上运动.
(1) 直接写出 $A, B, C$ 三点的坐标;
(2) 求 $C P+P Q+Q B$ 的最小值;
(3) 过点 $P$ 作 $P M \perp y$ 轴于点 $M$, 当 $\triangle C P M$ 和 $\triangle Q B N$ 相似时, 求点 $Q$ 的坐标.
一个一次函数的截距为 1 , 且经过点 $A(2,3)$.
(1)求这个一次函数的解析式;
(2) 点 $A, B$ 在㭉个反比例函数上, 点 $B$ 横坐标为 6 , 将点 $B$ 向上平移 2 个单位得到点 $C$, 求 $\cos \angle A B C$ 的值.
已知: $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 经过点 $A(-2,-1), B(0,-3)$.
(1)求函数解析式;
(2) 平移抛物线使得新顶点为 $P(m, n) \quad(m>0)$.
(1)倘若 $S_{\triangle O P B}=3$, 且在 $x=k$ 的右侧, 两抛物线都上升, 求 $k$ 的取值范围;
(2) $P$ 在原拋物线上, 新抛物线与 $y$ 轴交于 $Q, \angle B P Q=120^{\circ}$ 时, 求 $P$ 点坐标.
2022 年北京冬奥会即将召开, 激起了人们对冰雪运动的极大热情. 如图是某跳台滑雪训 练场的横截面示意图, 取某一位置的水平线为 $x$ 轴, 过跳台终点 $A$ 作水平线的垂线为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 图中的抛物线 $C_{1}: y=-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{7}{6} x+1$ 近似表示滑雪场地上的一 座小山坡, 某运动员从点 $O$ 正上方 4 米处的 $A$ 点滑出, 滑出后沿一段抛物线 $C_{2}: y=$ $-\frac{1}{8} x^{2}+b x+c$ 运动.
(1) 当运动员运动到离 $A$ 处的水平距离为 4 米时, 离水平线的高度为 8 米, 求抛物线 $C_{2}$ 的函数解析式 (不要求写出自变量 $x$ 的取值范围);
(2) 在 (1) 的条件下, 当运动员运动的水平距离为多少米时, 运动员与小山坡的坚直距 离为 1 米?
(3) 当运动员运动到坡顶正上方, 且与坡顶距离超过 3 米时, 求 $b$ 的取值范围.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $(1, m),(3, n)$ 在抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 上, 设抛物线的对称轴为 $x=t$.
(1) 当 $c=2, m=n$ 时, 求拋物线与 $y$ 轴交点的坐标及 $t$ 的值;
(2) 点 $\left(x_{0}, m\right)\left(x_{0} \neq 1\right)$ 在抛物线上, 若 $m < n < c$, 求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围.
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本. 已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜 10 元, 且用 110 元购买的甲种类型的数量与用 120 元购买的乙种类型的数量一样.
(1) 求甲乙两种类型笔记本的单价.
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共 100 件, 且购买的乙的数量不超过甲的 3 倍, 则购买的最低费 用是多少?
二次函数 $ y=\frac{1}{2} x^{2} $ 先向上平移 6 个单位, 再向右平移 3个单位, 点坐标的变化如表格所示，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上.
（1） $m$ 的值为
（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+5$ 与 $y=\frac{1}{2} x^{2}$ 的交点坐标;
（3）点 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在新的函数图象上, 且 $P, Q$ 两点均在对称轴的同一侧, 若 $y_{1}>y_{2}$, 则 $x_{1}$ （ ） $x_{2}$
(填写 > 或 < 或 = ）
已知函数 $y=-x^{2}+b x+c(b, c$ 为常数） 的图象经过点 $(0,-3),(-6,-3)$.
(1) 求 $b, c$ 的值.
(2) 当 $-4 \leqslant x \leqslant 0$ 时, 求 $y$ 的最大值.
(3) 当 $m \leqslant x \leqslant 0$ 时, 若 $y$ 的最大值与最小值之和为 2 , 求 $m$ 的值.
如图, 已知抛物线 $y=a x^2+\frac{4 \sqrt{3}}{3} x+c(a \neq 0)$ 经过原 点 $O$, 与 $x$ 轴交于点 $A(-4 \sqrt{3}, 0)$, 直线 $y=\sqrt{3} x+6$ 交
（1）求抛物线的解析式:
(2)若点 $D$ 是点 $C$ 关于抛物线对称轴的对称点, 连接 $C D$, 求 $C D$ 的长;
(3) 若点 $P$ 为线段 $A O$ 上的一个动点, 连接 $P D$, 以 $P D$ 为边向右作等边三角形 $P D Q$. 当点 $P$ 从点 $A$ 开始向右运动到点 $O$ 时, 线段 $D Q$ 扫过的面积为
如图, 反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}(x>0)$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(2,4)$ 和点 $\mathrm{B}$, 点 $\mathrm{B}$ 在点 $\mathrm{A}$ 的下方, $\mathrm{AC}$ 平分 $\angle O A B$, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{C}$.
（1）求反比例函数的表达式
（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 $\mathrm{AC}$ 的垂直平分线. (要求: 不写作法, 保留作图痕迹)
(3) 线段 $\mathrm{OA}$ 与 (2) 中所作的垂直平分线相交于点 D. 连接 $\mathrm{CD}$. 求 证： $\mathbf{C D} / / \mathbf{A B}$.
小红看到一处喷水景观, 喷出的水柱呈抛物线形状, 她对此展开研究: 测得喷水头 $P$ 距地面 $0.7 \mathrm{~m}$, 水柱在距喷水头 $P$ 水平距离 $5 \mathrm{~m}$ 处达到最高, 最高点距地面 $3.2 \mathrm{~m}$; 建立如图所示的平面直角坐 标系, 并设抛物线的表达式为 $y=a(x-h)^2+k$, 其中 $x(m)$ 是水柱距喷水头的水平距离, $y(m)$ 是 水柱距地面的高度.
（1）求抛物线的表达式.
（2）爸爸站在水柱正下方, 且距喷水头 $P$ 水平距离 $3 \mathrm{~m}$. 身高 $1.6 \mathrm{~m}$ 的小红在水柱下方䞢动, 当她的 头页恰好接触到水柱时, 求她与爸爸的水平距离.
已知一次函数 $y=k x+b(k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象相交于点 $A(1, m), B(n,-2)$.
（1）求一次函数的表达式, 并在图中画出这个一次函数的图象;
(2) 根据函数图象, 直接写出不等式 $k x+b>\frac{4}{x}$ 的解集;
(3) 若点 $C$ 是点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点, 连接 $A C, B C$, 求 $\mathrm{V} A B C$ 的面积.
如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2+b x+c$ 与直线 $A B$ 交于点 $A(0,-4), B(4,0)$.
（1）求该抛物线 $\mathrm{H}$ 函数表达式;
(2) 点 $P$ 是直线 $A B$ 下方拋物线上的一动点, 过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交 $A B$ 于点 $C$, 过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行 线交 $x$ 轴于点 $D$, 求 $P C+P D$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标;
(3) 在 (2) 中 $P C+P D$ 取得最大值的条件下, 将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位, 点 $E$ 为点 $P$ 的对应点, 平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点 $F, M$ 为平移后的抛物线的对称轴上一点. 在平移后的抛物线 上确定一点 $N$, 使得以点 $E, F, M, N$ 为顶点的四边形是平行四边形, 写出所有符合条件的点 $N$ 的 坐标, 并写出求解点 $N$ 的坐标的其中一种情况的过程.