单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
《九章算术》中有问题: 把一份文件送到 900 里外的城市, 如果用慢马送, 需要的时间比规 定时间多一天：如果用快马送, 所需的时间比规定时间少 3 天. 已知快马的速度是慢马的 2 倍, 求规定时间. 设规定时间为 $x$ 天, 则可列方程为
$\text{A.}$ $\frac{900}{x+1}=\frac{900}{x-3} \times 2$
$\text{B.}$ $\frac{900}{x+1} \times 2=\frac{900}{x-3}$
$\text{C.}$ $\frac{900}{x-1}=\frac{900}{x+3} \times 2$
$\text{D.}$ $\frac{900}{x-1} \times 2=\frac{900}{x+3}$
已知关于 $x$ 的方程 $x^2+m x+3=0$ 的一个根为 $x=1$, 则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ -3
若 $m>n$, 则下列不等式中正确的是
$\text{A.}$ $m-2 < n-2$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2} m>-\frac{1}{2} n$
$\text{C.}$ $n-m>0$
$\text{D.}$ $1-2 m < 1-2 n$
若 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2-2 x-3=0$ 的两个实数根, 则 $x_1 \cdot x_2^2$ 的值为
$\text{A.}$ 3 或 $-9$
$\text{B.}$ $-3$ 或 9
$\text{C.}$ 3 或 $-6$
$\text{D.}$ $-3$ 或 6
已知实数 $a, b$ 满足 $b-a=1$, 则代数式 $a^2+2 b-6 a+7$ 的最小值等于
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 2
方程 $\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$ 的解为
$\text{A.}$ $x=3$
$\text{B.}$ $x=-9$
$\text{C.}$ $x=9$
$\text{D.}$ $x=-3$
某种商品原来每件售价为 150 元, 经过连续两次降价后, 该种商品每件售价为 96 元, 设平均每次降价 的百分率为 $x$, 根据随意, 所列方程正确的是
$\text{A.}$ $150\left(1-x^2\right)=96$
$\text{B.}$ $150(1-x)=96$
$\text{C.}$ $150(1-x)^2=96$
$\text{D.}$ $150(1-2 x)=96$
一元二次方程 $(x+3)(2 x-1)=0$ 的解是
$\text{A.}$ $x_1=3, x_2=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $x_1=-3, x_2=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $x_1=3, x_2=2$
$\text{D.}$ $x_1=-3, x_2=-2$
一元二次方程 $x^2-2 x-1=0$ 根的情况是
$\text{A.}$ 有两个不相等的实数根
$\text{B.}$ 有两个相等的实数根
$\text{C.}$ 没有实数根
$\text{D.}$ 只有一个实数根
小亮仿照探究一元二次方程解的方法,课后尝试探究了一元三次方程 $x^3+12 x^2-15 x-1=0$ 的解,列表如下：
据此可知, 方程 $x^3+12 x^2-15 x-1=0$ 的一个解 $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $0 < x < 0.5$
$\text{B.}$ $0.5 < x < 1$
$\text{C.}$ $1 < x < 1.5$
$\text{D.}$ $1.5 < x < 2$
今年全球多地持续高温天气, 我国的煤碳进口量也大幅增加. 据海关总署发布的数据显 示, 2022 年 8 月份我国进口煤炭约 2952 万吨, 而 2020 年 8 月份我国进口煤炭约 2056 万吨. 设这三年每年 8 月份我国进口煤碳的平均增长率为 $x$, 则根据题意列出的方程是
$\text{A.}$ $2056(1+2 x)^2=2952$
$\text{B.}$ $2056(1+x)^2=2952$
$\text{C.}$ $2952(1-x)^2=2056$
$\text{D.}$ $2056(1+x)+2056(1+x)^2=2952$
已知关于 $x$ 的方程 $x^2-(2 \mathrm{~m}-1) x+\mathrm{m}^2=0$ 的两实数根为 $x_1, x_2$, 若 $\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=3$, 则 $\mathrm{m}$ 的值为
$\text{A.}$ $-3$
$\text{B.}$ $-1$
$\text{C.}$ $-3$ 或$1$
$\text{D.}$ $-1$ 或$3$
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1) x^2+2 x-3=0$ 有实数 根, 则 $\mathbf{m}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $m \geqslant \frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $m < \frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $m>\frac{2}{3}$ 且 $m \neq 1 $
$\text{D.}$ $m \geqslant \frac{2}{3}$ 且 $m \neq 1 $
某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始
后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树 400棵所需时间与原计划植树300
棵所需时间相同。设实际每天植树x棵.则下列方程正确的是
$\text{A.}$ $\frac{400}{x-50}=\frac{300}{x}$
$\text{B.}$ $\frac{300}{x+50}=\frac{400}{x}$
$\text{C.}$ $\frac{400}{x+50}=\frac{300}{x}$
$\text{D.}$ $\frac{300}{x+50}=\frac{400}{x}$
已知关于 $x$ 的方程 $x^2+m x+3=0$ 的一个根为 $x=1$ ，则实数 $m$ 的值为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $-4$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $-3$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2 x+4 \geq 0 \\ 6-x>3\end{array}\right.$ 的所有整数解的和为
如图 5, 一块砖的 A, B, C三个面的面积之比是 5: 3: 1. 如果 A, B, C三个 面分别向下在地上, 地面所受压强分别为 $P_1, P_2, P_3$, 压强的计算公式为 $P=\frac{F}{\mathrm{~s}}$, , 其中 $P$ 是压强, $F$ 是压力, $S$ 是受力面积, 则 $P_1, P_2, P_3$ 的大小关系为 (用小于号连接).
如图 10 , 小明同学用一张长 $11 \mathrm{~cm}$, 宽 $7 \mathrm{~cm}$ 的矩形纸板制作一个底面积为 $21 \mathrm{~cm}^2$ 的无盖长方体纸盒, 他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形, 将四周向上折叠即可(损耗不计). 设剪去的正方形边长为 $\mathrm{xcm}$, 则可列出关于 $\mathrm{x}$ 的方程为
解方程: $\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^2-4 x+4}$
不等式组 $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 \geq 0, \\ 4-2 x < -1\end{array}\right.$ 的解集是
已知关于 $x$ 的方程 $x^2+k x+3=0$ 的一个根是 1 , 则实数 $k$ 等于
一个小球从地面坚直向上弹出, 它在空中距离地面的高度 $h(\mathrm{~m})$ 与弹出的时间 $t(\mathrm{~s})$ 满足的关系式为 $h=15 t-5 t^2$. 当小球第一次距 离地面 $10 \mathrm{~m}$ 时, 小球弹出的时间为 秒.
若方程 $\frac{x-3}{x-2}+1=\frac{3}{2-x}$ 的解使关于 $x$ 的不等式 (2-a) $x-3>0$ 成立, 则实数 a 的取值范围 是
下面给出证明 $3=0$ 的过程.
①设 $x$ 是方程 $x^2+x+1=0$ 的一个解.
②由于 $x \neq 0$, 两边同时除以 $x$ 得
$$
x+1+\frac{1}{x}=0 .
$$
③两式联立消去 $x+1$ 得
$$
\begin{aligned}
& -x^2+\frac{1}{x}=0 \\
& \text { 即 } x^3=1
\end{aligned}
$$
解得 $x=1$.
④把 $x=1$ 代入 $x^2+x+1=0$ 得
$$
3=0 .
$$
该过程的错误最早出现在第 几个步骤.
若式子 $\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是
不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+4 \geq 0 \\ 6-x>3\end{array}\right.$ 的所有整数解的和为
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
近期, 受俄乌局势影响, 国内汽油价格不断上涨. 请你根据下面的信息 (如图), 计算今 年 4 月份汽油的价格.
草莓基地对收获的草莓分拣成 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两个等级销售, 每千克草莓的价格 $\mathrm{A}$ 级比 $\mathrm{B}$
(1) 问草莓基地销售 $A, B$ 两个等级草莓每千克各是多少元?
(2) 某超市从该草莓基地购进 200 千克草莓, A 级草莓不少于 40 千克, 且总费用不超过 3800 元, 超市对购进的草苺进行包装销售 (如下表), 全部包装销售完, 当包装 A 级草苺多少 包时, 所获总利润最大? 最大总利润为多少元?
绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的 $A 、 B$ 两种型号的颜料, 若购买 1 盒 $A$ 种型号的颜料和 2 盒 $B$ 种型号的颜料需用 56 元; 若购买 2 盒 $A$ 种型号的颜料和 1 盒 $B$ 种型号的颜料需用 64 元.
(1) 求每盒 $A$ 种型号的颜料和每盒 $B$ 种型号的颜料各多少元;
(2) 绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共 200 盒, 总费用不超过 3920 元, 那么该中学最多可以购买
多少盒 $A$ 种型号的颜料?
解方程:
(1) $x^2-6 x-3=0$;
(2) $2 x^2+5 x+1=0$.
某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯, 该台灯的成本价为 30 元/盛. 试销一段时间 后, 发现按 40 元/盛的价格销售, 每周可售出 600 盙; 当每盙台灯售价在 40 元至 60 元之间 时,每盙售价每上涨 2 元,每周的销售量将减少 20 盙.
(1)若每盛台灯销售价为 46 元,求这周的销售利润;
(2)如果要实现每周的销售利润 10000 元的目标,求每盎台灯的销售价格.
某经销商计划购进 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两种农产品. 已知购进 $\mathrm{A}$ 种农产品 2 件, B 种农产品 3 件, 共需 690 元; 购进 $A$ 种农产品 1 件, B种农产品 4 件, 共需 720 元.
(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元?
(2) 该经销商计划用不超过 5400 元购进 A, B 两种农产品共 40 件, 且. A 种农产品的 件数不超过 B 种农产品件数的 3 倍. 如果该经销商将购进的农产品按照 A 种每件 160 元, B 种每件 200 元的价格全部售出, 那么购进 A, B 两种农产品各多少件时获 利最多?
某班在庆祝中国共产主义青年团成立 100 周年活动中, 给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品. 已知每本笔记本比每支钢 笔多 2 元, 用 240 元购买的笔记本数量与用 200 元购买的钢笔数 量相同.
（1）笔记本和钢笔的单价各多少元?
(2) 若给全班 50 名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次 活动的纪念品, 要使购买纪念品的总费用不超过 540 元, 最多可以 购买多少本笔记本?
解方程: $\frac{4 x-1}{x-3}=2+\frac{1}{x-3}$
小明骑自行车比步行每小时多 走 8 千米, 如果他步行 12 千米所用的时间与骑自行车 36 千米所用的时间相等, 求他骑自行车的速度。
某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元∶若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元.
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元?
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共 30 桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液
的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍。怎样购买。才能使总费用W最少?并求出最少费用
解分式方程: $\frac{x}{x-2}-1=\frac{4}{x^2-4 x+4}$.
说到方程，最简单的是一元一次方程，就是一个未知数，一个方程构成的，还有二元一次方程组，三元一次方程组，他们的未知数个数与方程个数是相等的，但还有一类方程，未知数个数多于方程的个数，比如：,是由两个未知数，一个方程构成的，这类方程的解由无数多个，由于这类方程的解是不定的，数学上就把它叫做不定方程.
对不定方程的研究，我国古代很早就开始了，《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”，就是突出的一例，题目大意是：
五户人家各出固定长度的绳索作井绳，已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳，以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深，问井深和各户绳长各几何?
