单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
轮船顺流航行时 $m$ 千米/小时, 逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度
$\text{A.}$ 2 千米/小时
$\text{B.}$ 3 千米/小时
$\text{C.}$ 6千米/小时
$\text{D.}$ 不能确定
方程 $2 x+3 y=20$ 的正整数解有
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 3 个
$\text{C.}$ 4个
$\text{D.}$ 无数个
在式子 $\frac{1}{a}, \frac{b}{3}, \frac{c}{a-b}, \frac{2 a b}{\pi}, \frac{x}{x^2-y^2}$ 中, 分式的个数为
$\text{A.}$ 2 个
$\text{B.}$ 3个
$\text{C.}$ 4个
$\text{D.}$ 5个
下列运算正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y}{-x-y}=-\frac{y}{x-y}$
$\text{B.}$ $\frac{2 x+y}{3 x+y}=\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{x^2+y^2}{x+y}=x+y$
$\text{D.}$ $\frac{y+x}{x^2-y^2}=\frac{1}{x-y}$
已知 $x_1, x_2, x_3\left(x_1 < x_2 < x_3\right)$ 为关于 $x$ 的方程 $x^3-3 x^2+(a+2) x-a=0$ 的三个实数根, 则 $4 x_1-x_1^2+x_2^2+x_3^2=$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
近年来, 由于新能源汽车的崛起, 燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑, 某款燃油汽车 1 月份的售价为 20 万元, 3 月份的售价为 16.2 万元, 设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是 $x$, 可列方程正确的是
$\text{A.}$ $16.2(1+x)^2=20$
$\text{B.}$ $16.2(1-x)^2=20$
$\text{C.}$ $20(1-x)^2=16.2$
$\text{D.}$ $20(1-2 x)=16.2$
已知 $a>b, c$ 为任意实数, 则下列不等式中总是成立的是
$\text{A.}$ $a+c < b+c$
$\text{B.}$ $a c>b c$
$\text{C.}$ $a-c>b-c$
$\text{D.}$ $a c < b c$
已知实数 $a, b, c$ 在数轴上对应的点如图所示, 则下列关系中, 正确的是
$\text{A.}$ $a b>b c$
$\text{B.}$ $a c>a b$
$\text{C.}$ $a b < b c$
$\text{D.}$ $c+b>a+b$
已知 $a < b$, 下列式子不一定成立的是
$\text{A.}$ $a-1 < b-1$
$\text{B.}$ $-2 a>-2 b$
$\text{C.}$ $a+1 < b+1$
$\text{D.}$ $m a>m b$
若 $2 a+3>2 b+3$, 则下列不等式中错误的是
$\text{A.}$ $-\frac{a}{5} < -\frac{b}{5}$
$\text{B.}$ $-2 a>-2 b$
$\text{C.}$ $a-2>b-2$
$\text{D.}$ $-(-a)>-(-b)$
若 $a>b, c < 0$, 则下列四个不等式中成立的是
$\text{A.}$ $a c>b c$
$\text{B.}$ $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
$\text{C.}$ $a-c < b-c$
$\text{D.}$ $a+c < b+c$
设 $a 、 b 、 c$ 表示三种不同物体的质量, 用天平称两次, 情况如图所示, 则这三种物体的质量从小到大排序正确的是
$\text{A.}$ $c < b < a$
$\text{B.}$ $b < a < c$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $a < b < c$
如果 $t>0$, 那么 $a+t$ 与 $a$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $a+t>a$
$\text{B.}$ $a+t < a$
$\text{C.}$ $a+t \geq a$
$\text{D.}$ 不能确定
已知实数 $a, b$ 满足 $a>b-1$, 则
$\text{A.}$ $a>b$
$\text{B.}$ $b>a$
$\text{C.}$ $a+2>b+1$
$\text{D.}$ $b+1>a+2$
已知关于 $x$ 的不等式 $(2-a) x>3$ 的解集为 $x < \frac{3}{2-a}$, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a>0$
$\text{B.}$ $a < 0$
$\text{C.}$ $a>2$
$\text{D.}$ $a < 2$
已知三角形三边的长分别为 $1 、 2 、 x$, 则 $x$ 的取值范围在数轴上表示为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
某种商品的标价为 120 元, 若以标价的 $90 \%$ 出售, 仍相对进价获利 $20 \%$, 则该商品的进价为 ________ 元
若实数 $x, y$ 满足 $x^3+y^3+\frac{1}{4}(x+y)=\frac{15}{2}$, 则 $x+y$ 的最大值为
已知两个正整数的和比它们的积小 1000 , 若其中较大的数是完全平方数, 则较小的数为
不等式 $-5 x \geq-13$ 的解集中, 最大的整数解是
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一艘船以 25 千米/时的速度向正北方向航行, 在 A 处看灯塔 $\mathrm{S}$ 在船的北偏东 $30^{\circ}, 2$ 小时后航行到 $\mathrm{B}$ 处, 在 B 处看灯塔 $\mathrm{S}$ 在船的北偏东 $45^{\circ}$, 求灯塔 $\mathrm{S}$ 到 $\mathrm{B}$ 处的距离。
设正数 $x, y, z$ 满足 $2 x+2 y+z=1$, 求 $3 x y+y z+z x$的最大值.
已知 $a, b, c$ 为三个正实数, 求证:
$$
\sqrt{\frac{2}{3}+\frac{a b c}{a^3+b^3+c^3}}+\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{a b+b c+c a}} \geq 2 .
$$
问题: 设 $a, b, c, d \in R^{+}, a b c d=1$, 求证:
$$
\frac{1}{\sqrt{a b c+b c+c}}+\frac{1}{\sqrt{b c d+c d+d}}+\frac{1}{\sqrt{c d a+d a+a}}+\frac{1}{\sqrt{d a b+a b+b}} 2 .
$$
已知正数 $a, b, c, d$ 满足 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$, 求证:
$$
\frac{a}{1+a+a b+a b c}+\frac{b}{1+b+b c+b c d}+\frac{c}{1+c+c d+c d a}+\frac{d}{1+d+d a+d a b} \leq 1 .
$$
已知 $a, b, c>0$, 求证:
$$
\frac{a^2+b^2+c^2}{a b+b c+c a} \geq \frac{1}{8}\left(1+\frac{2 a}{b+c}\right)\left(1+\frac{2 b}{c+a}\right)\left(1+\frac{2 c}{a+b}\right) \geq 1 .
$$
在实数范围内, 解方程: $\sqrt{10+x}+\sqrt{7-x}=5$
在实数范围内, 解方程:$\sqrt[4]{10+x}+\sqrt[4]{7-x}=3$
已知正实数 $x, y$ 满足 $x y^2(x+y)=4$, 求 $2 x+y$ 的最小值.
设 $a, b, c$ 是实数, 且满足 $a b c+a+b+c=a b+b c+$ $c a+5$.
求表达式 $a^2+b^2+c^2$ 的最小值.
设正实数 $a, b, c, d$ 满足 $\frac{a b}{c d}=\frac{a+b}{c+d}$, 求证: $(a+b)(c+d) \geq(a+c)(b+d) .$
设 $a, b, c, d$ 为四个不同的实数, 若 $a, b$ 为方程 $x^2-10 c x-11 d=0$ 的根, $c, d$为方程 $x^2-10 a x-11 b=0$ 的根, 求 $a+b+c+d$ 的值.
习近平总书记在谈到基层教育时指出, 我们的教育要善于从五千年中华传统文化中汲取优秀的东西, 同时也不摒弃西方文明成果, 真正把青少年培养成为拥有“四个自信”的孩子。某校响应号召, 为满足学生的阅读需求新购买了一批图书, 拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书, 已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的 1.2 倍, 用 9600 元购买的甲种书柜数量比用 7200 元购买的乙种书柜数量多 5 个, 分别求每个甲、乙书柜的价格.
繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具, 某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠, 对乙种道具按 40 元件的价格出售, 设繁花歌舞团购买甲种道具 $x$ 件, 付款 $y$ 元, $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图所示;
(1) 求出当 $0 \leq x \leq 60$ 和 $x>60$ 时, $y$ 与 $x$ 的函数关系;
（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共 120 件, 且甲种道具数量不少于乙种道具数量的 $\frac{5}{3}$, 乙种道具不少于 35 件, 如何分配甲、乙两种道具的购进量, 才能使繁花歌舞团付款总金额 $w$ (元) 最少?
阅读下列材料:
解答 “已知 $x-y=2$, 且 $x>1, y < 0$, 试确定 $x+y$ 的取值范围”有如下解法:
解: $\because x-y=2, \therefore x=y+2$,
又 $\because x>1$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore y+2>1, \\
& \therefore y>-1, \\
& \text { 又 } \because y < 0,-1 < y < 0 \text { (1), }
\end{aligned}
$$
同理得: $1 < x < 2(2)$,
由(1) + (2)得 $-1+1 < y+x < 0+2$,
$\therefore x+y$ 的取值范围是 $0 < x+y < 2$.
请按照上述方法, 完成下列问题.
(1) 已知 $x-y=3$, 且 $x>2, y < 1$, 则 $x+y$ 的取值范围是
(2) 已知 $y>1, x < -1$, 若 $x-y=a$ 成立, 求 $x-2 y$ 的取值范围. (结果用含 $a$ 的式子表示)
比较 $a+b$ 与 $a-b$ 的大小时, 我们可以采用下列解法:
解: $\because(a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2 b$,
当 $2 b>0$, 即 $b>0$ 时, $a+b>a-b$ ；
当 $2 b < 0$, 即 $b < 0$ 时, $a+b < a-b$ ；
当 $2 b=0$, 即 $b=0$ 时, $a+b=a-b$.
这种比较大小的方法叫“作差法”, 请用“作差法”比较 $x^2-x+1$ 与 $x^2+2 x+1$ 的大小.
如果字母 $a$ 是有理数, 请比较 $a$ 与 $\frac{1}{a}$ 的大小.
阅读与思考:
(1) 若 $x < 2$. 则 $x-2$ ________ 0, 依据是 ________
若 $x>-3$, 则 $x+3$ ________ 0 , 依据是 ________
若 $x>-3$. 则 $3 x$ ________ -9 , 依据是 ________
若 $x < 2$, 则 $-2 x$ ________ -4 , 依据是 ________
(2) 根据 (1) 的启示, 若 $-3 < x < 2$ 时. 请你化简 $|x-2|+|x+3|-|3 x+9|-|4-2 x|$.
某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件, 后来又到深圳以每件 12.5 元的价格购进同一种商品 40 件. 如果商店销售这些商品时, 每件定价为 $x$ 元, 可获得大于 $12 \%$ 的利润, 用不等式表示问题中的不等关系, 并检验 $x=14$ (元) 是否使不等式成立?