单选题 （共 17 题 ），每题只有一个选项正确
受疫情反弹的影响，某景区今年 3 月份游客人数比 2 月份下降了 $40 \% ， 4$ 月份又比 3 月份下降了 $50 \%$ ，随着疫情逐步得到控制，预计 5 月份游客人数将比 2 月份翻一番 (即是 2 月份的 2 倍)，设 5 月份与 4 月份相比游客人数的增长率为 $x$ ，则下列关系正确的是
$\text{A.}$ $(1-40 \%-50 \%)(1+x)=2$
$\text{B.}$ $(1-40 \%-50 \%)(1+x)^2=2$
$\text{C.}$ $(1-40 \%)(1-50 \%)(1+x)^2=2$
$\text{D.}$ $(1-40 \%)(1-50 \%)(1+x)=2$
设实数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=1$, 则 $M=x y+2 y z+3 x z$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $1 $
高铁为居民出行提供了便利, 从铁路沿线相距 $360 \mathrm{~km}$ 的甲地到乙地, 乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用 $3 \mathrm{~h}$. 已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的 3 倍, 设普通列车的平均速度为 $x \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, 依题意, 下面所列方程正确的是
$\text{A.}$ $\frac{360}{x}-\frac{360}{3 x}=3$
$\text{B.}$ $\frac{360}{3 x}-\frac{360}{x}=3$
$\text{C.}$ $\frac{360}{x}-\frac{360}{\frac{1}{3} x}=3$
$\text{D.}$ $\frac{360}{\frac{1}{3} x}-\frac{360}{x}=3$
方程 $(m-1) x^{|m|+1}-3 x=7$ 是关于 $x$ 的一元二次方程, 则有
$\text{A.}$ $m=1$
$\text{B.}$ $m=-1$
$\text{C.}$ $m= \pm 1$
$\text{D.}$ $m \neq \pm 1$
我国古代数学著作《九章算术》中记载: “今有大器五小器一容三斛, 大器一小器五容二斛. 问大小器各容几何, ”其大意为: 有大小两种盛酒的桶, 已知 5 个大桶和 1 个小桶可以盛酒 3 斛, 1 个大桶和 5 个小桶可以盛酒 2 解. 问 1 个大桶、 1 个小桶分别可以盛酒多少解? 设 1 个大桶可以盛酒 $x$ 解, 1 个小悀可以盛酒 $y$ 斛, 根据题意, 可列方程组为
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}5 x+y=3 \\ x+5 y=2\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}5 x-y=3 \\ x+5 y=2\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}5 x+y=2 \\ x+5 y=3\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}x-5 y=2 \\ 5 x+y=3\end{array}\right.$
在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中, 称小正方形的顶点为 “格点”, 顶点全在格点上的多边形为 “格点多边形”. 格点多边形的面积记为 $S$, 其内部的格点数记为 $N$, 边界上的格点数记为 $L$, 例如, 图中的 $\triangle A B C$ 是格点三角形, 其中 $S=2, N=0, L=6$; 图中格点多边形 $D E F G H I$ 所对应的 $S, N, L$ 分别是 $S$ $=7, N=3, L=10$. 经探究发现, 任意格点多边形的面积 $S$ 可表示为 $S=a N+b L+c$, 其中 $a, b, c$ 为常数, 则当 $N=82, L=38$ 时, $S$ 的值为
$\text{A.}$ 44
$\text{B.}$ 43
$\text{C.}$ 100
$\text{D.}$ 99
将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+x-1=2(x-3)$ 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为
$\text{A.}$ $1,-4$
$\text{B.}$ $-1,5$
$\text{C.}$ $-1,-5$
$\text{D.}$ $1,-6$
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^2-(2 k-1) x+k-2=0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\mathrm{k}>-\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\mathrm{k} < \frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\mathrm{k}>-\frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$
$\text{D.}$ $k < \frac{1}{4}$ 且 $k \neq 0$
已知关于 ${x}$ 的一元二次方程 $x^2-2 x+m=0$ 有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为 $\mathrm{b}$ ，令 $y=4 b^2-8 b+3 m+2$ ， 则
$\text{A.}$ $y>1$
$\text{B.}$ $y \geq 1$
$\text{C.}$ $y \leq 1$
$\text{D.}$ $y < 1$
2023 年 4 月 23 是第 28 个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院 600 人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院 2850 人次，若进书院人次的月平均增长率为 $x$ ，则可列方程为
$\text{A.}$ $600(1+2 x)=2850$
$\text{B.}$ $600(1+x)^2=2850$
$\text{C.}$ $600+600(1+x)+600(1+x)^2=2850$
$\text{D.}$ $2850(1-x)^2=600$
如图，在一块长为 $20 \mathrm{~m}$ ，宽为 $12 \mathrm{~m}$ 的矩形 $A B C D$ 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的 4 倍，道路占地总面积为 $40 \mathrm{~m}^2$ ， 设道路宽为 $x \mathrm{~m}$ ，则以下方程正确的是
$\text{A.}$ $32 x+4 x^2=4$
$\text{B.}$ $32 x+8 x^2=40$
$\text{C.}$ $64 x-4 x^2=40$
$\text{D.}$ $64-8 x^2=40$
若 $x$ 为实数，且满足 $x^2+\frac{1}{x^2}-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0$ ，则 $x+\frac{1}{x}=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1 或 3
$\text{D.}$ 无法确定
在函数 $y=\frac{1}{x-3}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $x \neq 0$
$\text{B.}$ $x>3$
$\text{C.}$ $x \neq-3$
$\text{D.}$ $x \neq 3$
式子 $\frac{\sqrt{2 x+1}}{x-1}$ 有意义的 $x$ 取值范围是
$\text{A.}$ $x \neq 1$
$\text{B.}$ $x \geq-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $x \geq-\frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1$
$\text{D.}$ $x>-\frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1$
定义: 如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式. 如 $\frac{1}{n+1} \times \frac{1}{n+3}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}\right)$ ，则 $\frac{1}{n+1}$ 与 $\frac{1}{n+3}$ 是和谐分式. 下列每组两个分式是和谐分式的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n}$ 与 $\frac{1}{2 n+1}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 n-1}$ 与 $\frac{1}{3 n+1}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{2 n-1}$ 与 $\frac{3}{3 n+1}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2 n-1}$ 与 $\frac{2}{3 n+1}$
015年8月31日慧聪网报道, 爱唱响内蒙音乐夏令营9月开启, 某学校组织部分学生参加夏令营, 李老师从夏令营咨询处带回如图所示的两条信息, 则原来报名参加夏令营的学生有
$\text{A.}$ 100人
$\text{B.}$ 150人
$\text{C.}$ 200人
$\text{D.}$ 250人
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图, 已知函数 $y=x+1$ 和 $y=a x+3$ 图象交于点 $P$, 点 $P$ 的横坐标为 $1$, 则关于 $x,y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-y=-1, \\ a x-y=-3\end{array}\right.$的解是
请你写出一个解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=-4\end{array}\right.$ 的二元一次方程组
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(2 k-1) x+k^2+3=0$ 有两个不相等的实数根, 则实数 $k$ 的取值范围是
某种商品原价每件售价为 400 元, 经过连续两次降价后, 每件售价为 288 元, 设平均每次降价的百分率为 $x$, 则可列方程为
解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某项电力工程按千米记工作量为 1150 千米. 某工程队承担了此项工程的施工，在完成了 100 千米工作量后，该工程队改进施工技术和方案，每小时比原来多完成 20 千米工作量，结果共用了 50 小时完成了此项工程的施工任务. 试问: 该工程队改进施工技术和方案后每小时工作量是多少干米?
某校为奖励该校在第二届学生技能大赛中表现突出的 20 名同学, 派李老师为这些同学购买奖品, 要求每人一件, 李老师到文具店看了商品后, 决定奖品在钢笔和笔记本中选择. 如果买 4 个笔记本和 2 支钢笔, 则需 86 元; 如果买 3 个笔记本和 $1$ 支钢笔, 则需 57 元.
(1) 求笔记本和钢笔的单价分别为多少元?
(2)售货员提示, 购买笔记本没有优惠: 买钢笔有优惠, 具体方法是: 如果买钢笔超过 10 支, 那么超出部分可以享受 $8$ 折优惠, 若买 $x(x>10)$ 支钢笔, 所需费用为 $y$ 元, 请你求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式;
(3) 在 ${(2)}$ 的条件下, 如果买同一种奖品, 请你帮忙计算说明, 买哪种奖品费用更低.
解不等式： $\frac{3 x-5}{2}>2 x$.
小红在一家文具店买了一种大笔记本 4 个和一种小笔记本 6 个，共用了 62 元. 已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多 3 元. 求该文具店中这种大笔记本的单价.
先化简, 再求值: $\frac{a+1}{a^2-2 a+1} \div\left(2+\frac{3-a}{a-1}\right)$, 其中 $\boldsymbol{a}=\sqrt{2}+1$.
某公园门票价格规定如下表：
某校七年级(一)、(二)两个班共 104 人去逛公园, 其中 (一) 班人数较少, 不足 50 人. 经估算 若两个班都以班为单位购票, 则一共应付 1240 元, 问:
(1) 两班各有多少学生?
(2) 如果两班联合起来,作为一个团体购票,可省多少钱?
(3) 如果七年级 (一)班单独组织去公园,作为组织者的你将如何购票才最省钱?
如图①, 在长方形 $A B C D$ 中, $A B=12 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}$. 点 $P$ 沿 $A B$ 边从点 $A$ 开始向点 $B$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动,点 $Q$ 沿 $D A$ 边从点 $D$ 开始向点 $A$ 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动.
设点 $P, Q$ 同时出发,用 $t(\mathrm{~s})$ 表示移动的时间.
【发现】 $D Q=$ $\mathrm{cm}, A P=$ $\mathrm{cm}$. (用含 $t$ 的代数式表示)
【拓展】 (1) 如图①, 当 $t=$ $\mathrm{s}$ 时,线段 $A Q$ 与线段 $A P$ 相等;
(2) 如图②, 点 $P, Q$ 分别到达点 $B, A$ 后继续运动, 点 $P$ 到达点 $C$ 后停止运动. 当 $t$ 为何值时, $A Q=\frac{1}{2} C P$ ?
【探究】若点 $P, Q$ 分别到达点 $B, A$ 后继续沿着 $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ 的方向运动, 请直接写出点 $P$ 与点 $Q$ 第一次相遇时, 相遇点的位置.
解不等式组: $\left\{\begin{array}{l}2 x+1 < 5, \text { (1) } \\ 3-x>2 . \text { (2)}\end{array}\right.$
老友粉入选广西非物质文化遗产名录. 为满足消费者需求, 某超市购进甲、乙两种品牌老友粉, 已知甲品牌老友粉比乙品牌老友粉每袋进价少 2 元, 用 2700 元购进甲品牌老友粉与用 3300 元购进乙品牌老友粉的数量相同.
(1) 求甲、乙两种品牌老友粉每坺的进价:
（2）本次购进甲、乙品牌老友粉共 800 袋, 均按 13 元出售, 且购进甲品牌老友粉的数量不超过乙品牌老友粉数量的 3 倍. 若该批老友粉全部售完, 则该超市应购进甲、乙两种老友粉各多少袋才能获得最大利润? 最大利润是多少?
解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+9 \geq 3, \text { (1) } \\ \frac{1+2 x}{3}>x-1 \text {. (2) }\end{array}\right.$, 请按下列步骤完成解答.
( 1 ) 解不等式(1), 得
( 2 ) 解不等式(2), 得
（3）把不等式(1)和(2)的解集在数轴上表示出来.
行驶中的汽车刹车后, 由于惯性还会继续向前滑行一段距离, 这段距离称为 “刹车距离”. 已知汽车 $A$ 刹车后刹车距离 $y$ (单位: $m$ ) 与刹车时的速度 $x$ (单位: $m / s$ ) 的函数关系满足 $y=a x^2+b x$. 当汽车的速度为 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时, 刹车距离为 $17 \mathrm{~m}$ ；当汽车的速度为 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 时, 刹车距离为 $50 \mathrm{~m}$.
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式;
( 2 ) 行驶中的汽车 $A$ 突然发现正前方 $100 \mathrm{~m}$ 处有一辆抛针的危险用品运输车, 紧急刹车, 此时汽车 $A$ 的速度为 $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, 通过计算判断汽车 $A$ 是否会撞上运输车;
(3) 若汽车 $B$ 刹车后刹车距离 $y$ (单位: $m$ ) 与刹车时的速度 $x$ (单位: $k m / h$ ) 的函数关系满足 $y=\frac{3}{50} x^2+c x(c>0)$, 当 $30 \leq$ $x \leq 50$ 时, 在相同的车速下汽车 $A$ 的“刹车距离”始终比汽车 $B$ 的“刹车距离”大, 直接写出 $c$ 的取值范围.
已知整数 $x, y$ 满足 $x y=22-3 x+y$, 求 $x y$ 的最大值。
我们用 $\min$ 表示两个数中的较小数, 如 $\min \{5,3\}=3$, 求 $\min \left\{-x^2-x, 2 x\right\}$ 的最大值。
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(n+2) x-2 n^2=0$ 的解为 $a_n, b_n$, 则 $\frac{2}{\left(a_1-2\right)\left(b_1-2\right)}+$ $\frac{2}{\left(a_2-2\right)\left(b_2-2\right)}+\cdots \frac{2}{\left(a_{2024}-2\right)\left(b_{2024}-2\right)}$ 的值。
已知关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^2-(2 k+1) x+(3 k-1)=0$.
(1) 求证: 无论 $k$ 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为 1 时，求 $k$ 的值及该方程的另一个根.
当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用 “缩根法” 简化运算. “缩根法” 是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小，从而得到原方程的两个根.
已知：关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 的两个根分别为 $x_1=\alpha ， x_2=\beta$ ，求关于 $x$ 的一元二次方程 $p^2 a x^2+p b x+c=0(a p \neq 0)$ 的两根.
解：因为 $p^2 a x^2+p b x+c=0(a p \neq 0)$ ，
所以 $a(p x)^2+b \cdot p x+c=0$.
令 $p x=x^{\prime}$ ， 得新方程 $a x^{\prime 2}+b x^{\prime}+c=0$.
因为新方程的解为 $x_1^{\prime}=\alpha ， x_2^{\prime}=\beta$ ，所以 $p x=\alpha ， p x=\beta$ ，所以原方程的两个根分别为 $x_1=\frac{\alpha}{p} ， x_2=\frac{\beta}{p}$.
这种解一元二次方程的方法叫做 “缩根法”。
举例: 用缩根法解方程 $49 x^2+35 x-24=0$.
解: 因为 $49=7^2 ， 35=5 \times 7$ ， 所以 $(7 x)^2+5 \times 7 x-24=0$ ，令 $7 x=x^{\prime}$ ， 得新方程 $x^{\prime 2}+5 x^{\prime}-24=0$.
解新方程，得 $x_1^{\prime}=3 ， x_2^{\prime}=-8$ ， 所以 $7 x=3 ， 7 x=-8$ ，
所以原方程的两个根分别为 $x_1=\frac{3}{7} ， x_2=-\frac{8}{7}$.
请利用上面材料中的缩根法解下列方程:
(1) $36 x^2-6 x-1=0$ ；
(2) $3 x^2+160 x-256000=0$.
请阅读下列材料:
问题: 已知方程 $x^2+x-1=0$ ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍.
解: 设所求方程的根为 $y$ ，则 $y=2 x$ ，所以 $x=\frac{y}{2}$ ，把 $x=\frac{y}{2}$ 代入已知方程，得 $\left(\frac{y}{2}\right)^2+\frac{y}{2}-1=0$ ；化简，得 $y^2+2 y-4=0$ ；故所求方程为 $y^2+2 y-4=0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为 “换根法”；
请用阅读材料提供的 “换根法” 求新方程 (要求: 把所求方程化为一般形式)：
（1）已知方程 $x^2+3 x-2=0$ ， 求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^2-b x+c=0(a \neq 0)$ 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.